2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]连续可导，且f(0)＝0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝2∫01f(χ)dχ．

设f(χ)在[0，1]连续可导，且f(0)＝0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝2∫01f(χ)dχ．

admin2017-09-15  38
问题 设f(χ)在[0，1]连续可导，且f(0)＝0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝2∫01f(χ)dχ．
选项
答案因为f′(χ)在区间[0，1]上连续，所以f′(χ)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(χ)－f(0)＝f′(c)χ(基中c介于0与χ之间)两边积分得 ∫01f(χ)dχ＝∫01f′(c)χdχ， 由m≤f′(c)≤M得m∫01χdχ≤∫01f′(c)χdχ≤M∫01χdχ， 即m≤2∫01f′(c)χdχ≤M或m≤2∫01f(χ)dχ≤M， 由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝2∫01f(χ)dχ．
解析
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考研数学二

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