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设f(χ)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f′(ξ)=2∫01f(χ)dχ.
设f(χ)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f′(ξ)=2∫01f(χ)dχ.
admin
2017-09-15
61
问题
设f(χ)在[0,1]连续可导,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1],使得f′(ξ)=2∫
0
1
f(χ)dχ.
选项
答案
因为f′(χ)在区间[0,1]上连续,所以f′(χ)在区间[0,1]上取到最大值M和最小值m,对f(χ)-f(0)=f′(c)χ(基中c介于0与χ之间)两边积分得 ∫
0
1
f(χ)dχ=∫
0
1
f′(c)χdχ, 由m≤f′(c)≤M得m∫
0
1
χdχ≤∫
0
1
f′(c)χdχ≤M∫
0
1
χdχ, 即m≤2∫
0
1
f′(c)χdχ≤M或m≤2∫
0
1
f(χ)dχ≤M, 由介值定理,存在ξ∈[0,1],使得f′(ξ)=2∫
0
1
f(χ)dχ.
解析
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