设f(χ)在[0，1]连续可导，且f(0)＝0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝2∫01f(χ)dχ．

admin2017-09-15 33

问题设f(χ)在[0，1]连续可导，且f(0)＝0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝2∫₀¹f(χ)dχ．

选项

答案因为f′(χ)在区间[0，1]上连续，所以f′(χ)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(χ)－f(0)＝f′(c)χ(基中c介于0与χ之间)两边积分得 ∫₀¹f(χ)dχ＝∫₀¹f′(c)χdχ，由m≤f′(c)≤M得m∫₀¹χdχ≤∫₀¹f′(c)χdχ≤M∫₀¹χdχ，即m≤2∫₀¹f′(c)χdχ≤M或m≤2∫₀¹f(χ)dχ≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝2∫₀¹f(χ)dχ．

解析

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