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[2006年] 设函数f(x)在x=2的某邻域内可导,且f’(x)=ef(x),f(2)=1,则f’"(2)=__________.
[2006年] 设函数f(x)在x=2的某邻域内可导,且f’(x)=ef(x),f(2)=1,则f’"(2)=__________.
admin
2021-01-25
53
问题
[2006年] 设函数f(x)在x=2的某邻域内可导,且f’(x)=e
f(x)
,f(2)=1,则f’"(2)=__________.
选项
答案
2e
3
解析
解一 由题设有f’(x)=e
f(x)
,两边对32求导,由复合函数求导法则得到
f"(x)=[e
f(x)
]’=e
f(x)
f’(x)=e
f(x)
·e
f(x)
=e
2f(x)
.
在上式两边再对x求导,利用复合函数求导法则得到
f’"(x)=[e
2f(x)
]’=e
2f(x)
[2f(x)]’=2e
2f(x)
f’(x)=2e
3f(x)
.
由题设有f(2)=1,得到 f’"(2)=2e
3f(x)
|
x=2
=2e
3f(2)
=2e
3
.
解二 由f’(x)=e
f(x)
及f(2)=1知,f’(2)=e
f(2)
=e,
f"(x)=[f’(x)]’=[e
f(x)
]’=e
f(x)
f’(x)=[f’(x)]
2
,
从而 f"(2)=[f’(x)]
2
=e
2
,
又 f’"(x)=[f"(x)]’={[f’(x)]
2
}’=2f’(x)f"(x),
则 f’"(2)=2×e×e
2
=2e
3
.
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考研数学三
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