[2006年] 设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，则f’"(2)=__________．

admin2021-01-25 39

问题 [2006年] 设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=e^f(x)，f(2)=1，则f’"(2)=__________．

选项

答案2e³

解析解一  由题设有f’(x)=e^f(x)，两边对32求导，由复合函数求导法则得到
               f"(x)=[e^f(x)]’=e^f(x)f’(x)=e^f(x)·e^f(x)=e^2f(x)．
在上式两边再对x求导，利用复合函数求导法则得到
         f’"(x)=[e^2f(x)]’=e^2f(x)[2f(x)]’=2e^2f(x)f’(x)=2e^3f(x)．
   由题设有f(2)=1，得到 f’"(2)=2e^3f(x)｜_x=2=2e^3f(2)=2e³．
解二  由f’(x)=e^f(x)及f(2)=1知，f’(2)=e^f(2)=e，
               f"(x)=[f’(x)]’=[e^f(x)]’=e^f(x)f’(x)=[f’(x)]²，
从而    f"(2)=[f’(x)]²=e²，
又    f’"(x)=[f"(x)]’={[f’(x)]²}’=2f’(x)f"(x)，
则          f’"(2)=2×e×e²=2e³．

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考研数学三

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