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设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求: (Ⅰ)A2; (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。
设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求: (Ⅰ)A2; (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。
admin
2019-05-11
76
问题
设向量α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
,β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
都是非零向量,且满足条件α
T
β=0。记n阶矩阵A=αβ
T
。求:
(Ⅰ)A
2
;
(Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。
选项
答案
(Ⅰ)对等式α
T
β=0两边取转置,有(α
T
β)
T
=β
T
α=0,即β
T
α=0。 利用β
T
α=0及矩阵乘法的运算法则,有 A
2
=(αβ
T
)
2
=αβ
T
αβ
T
=α(β
T
α)β
T
=α0β
T
=0αβ
T
=0, 即A
2
是n阶零矩阵。 (Ⅱ)设λ是A的任一特征值,ξ(ξ≠0)是A属于特征值λ的特征向量,即Aξ=λξ。 对上式两边左乘A得A
2
ξ=Aλξ=λ(Aξ)=λ(λξ)=λ
2
ξ,由(Ⅰ)的结果A
2
=O,得λ
2
ξ=A
2
ξ=0,因ξ≠0,故λ=0(n重根),即矩阵的全部特征值为零。 下面求A的特征向量:先将A写成矩阵形式 A=αβ
T
=[*]。 不妨设a
1
≠0,b
1
≠0,则有 [*] 于是得方程组(0E—A)x=0的同解方程组b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
=0,这样基础解系所含向量个数为n一r(0E—A)=n一1。 选x
2
,…,x
n
为自由未知量,将它们的组值(b
1
,0,…,0),(0,b
1
,…,0),…,(0,0,…,b
1
)代入,可解得基础解系为 ξ
1
=(一b
2
,b
1
,0,…,0),ξ
2
=(一b
3
,0,b
1
,…,0),…,ξ
n-1
=(一b
n
,0,0,…,b
1
), 则A的属于λ=0的全部特征向量为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-1
ξ
n-1
,其中k
1
,k
2
,…,k
n-1
为不全为零的任意常数。
解析
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考研数学三
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