2. 考研
  3. 设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求： (Ⅰ)A2； (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。

设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求： (Ⅰ)A2； (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。

admin2019-05-11  57
问题 设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求：
    (Ⅰ)A2；
    (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。
选项
答案(Ⅰ)对等式αTβ=0两边取转置，有(αTβ)T=βTα=0，即βTα=0。 利用βTα=0及矩阵乘法的运算法则，有 A2=(αβT)2=αβTαβT=α(βTα)βT=α0βT=0αβT=0， 即A2是n阶零矩阵。 (Ⅱ)设λ是A的任一特征值，ξ(ξ≠0)是A属于特征值λ的特征向量，即Aξ=λξ。 对上式两边左乘A得A2ξ=Aλξ=λ(Aξ)=λ(λξ)=λ2ξ，由(Ⅰ)的结果A2=O，得λ2ξ=A2ξ=0，因ξ≠0，故λ=0(n重根)，即矩阵的全部特征值为零。 下面求A的特征向量：先将A写成矩阵形式 A=αβT=[*]。 不妨设a1≠0，b1≠0，则有 [*] 于是得方程组(0E—A)x=0的同解方程组b1x1+b2x2+b3x3=0，这样基础解系所含向量个数为n一r(0E—A)=n一1。 选x2，…，xn为自由未知量，将它们的组值(b1，0，…，0)，(0，b1，…，0)，…，(0，0，…，b1)代入，可解得基础解系为 ξ1=(一b2，b1，0，…，0)，ξ2=(一b3，0，b1，…，0)，…，ξn-1=(一bn，0，0，…，b1)， 则A的属于λ=0的全部特征向量为k1ξ1+k2ξ2+…+kn-1ξn-1，其中k1，k2，…，kn-1为不全为零的任意常数。
解析
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考研数学三

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