首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求: (Ⅰ)A2; (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。
设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求: (Ⅰ)A2; (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。
admin
2019-05-11
55
问题
设向量α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
,β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
都是非零向量,且满足条件α
T
β=0。记n阶矩阵A=αβ
T
。求:
(Ⅰ)A
2
;
(Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。
选项
答案
(Ⅰ)对等式α
T
β=0两边取转置,有(α
T
β)
T
=β
T
α=0,即β
T
α=0。 利用β
T
α=0及矩阵乘法的运算法则,有 A
2
=(αβ
T
)
2
=αβ
T
αβ
T
=α(β
T
α)β
T
=α0β
T
=0αβ
T
=0, 即A
2
是n阶零矩阵。 (Ⅱ)设λ是A的任一特征值,ξ(ξ≠0)是A属于特征值λ的特征向量,即Aξ=λξ。 对上式两边左乘A得A
2
ξ=Aλξ=λ(Aξ)=λ(λξ)=λ
2
ξ,由(Ⅰ)的结果A
2
=O,得λ
2
ξ=A
2
ξ=0,因ξ≠0,故λ=0(n重根),即矩阵的全部特征值为零。 下面求A的特征向量:先将A写成矩阵形式 A=αβ
T
=[*]。 不妨设a
1
≠0,b
1
≠0,则有 [*] 于是得方程组(0E—A)x=0的同解方程组b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
=0,这样基础解系所含向量个数为n一r(0E—A)=n一1。 选x
2
,…,x
n
为自由未知量,将它们的组值(b
1
,0,…,0),(0,b
1
,…,0),…,(0,0,…,b
1
)代入,可解得基础解系为 ξ
1
=(一b
2
,b
1
,0,…,0),ξ
2
=(一b
3
,0,b
1
,…,0),…,ξ
n-1
=(一b
n
,0,0,…,b
1
), 则A的属于λ=0的全部特征向量为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-1
ξ
n-1
,其中k
1
,k
2
,…,k
n-1
为不全为零的任意常数。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6BJ4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设随机变量X~U[-1,1],则随机变量U=arcsinX,V=arccosX的相关系数为().
设函数f(x,y,z)一阶连续可偏导且满足f(tx,ty,tz)=tkf(x,y,z).证明:
设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若Aα1=α2,Aα2=α3,…,Aαn-1=αn,Aαn=0.(1)证明:α1,α2,…,αn线性无关;(2)求A的特征值与特征向量.
设A为n阶矩阵,证明:r(A*)=,其中n≥2.
设,求a,b的值.
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足,r(A)=r=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,已知E(Xk)=ak(k=1,2,3,4).证明:当n充分大时,随机变量Zn=;近似服从正态分布,并指出其分布参数.
设a1=1,当n≥1时,an+1=,证明:数列{an}收敛并求其极限.
直角坐标中的累次积分I=f(x,y)dy化为极坐标先r后θ次序的累次积分I=___________.
设曲线y=ax2(x≥0,常数a>0)与曲线y=1一x2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D.求(Ⅰ)D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a);(Ⅱ)a为何值时,V(a)取到最大值?
随机试题
以革兰阴性菌感染引起发热为例,阐明发热的基本机制。
教育行政管理体系中的监控部门,行政管理过程中的检查反馈环节是
患者排尿不受控制,为明确病因需行
A.经迟,量多或少,色黯有块,小腹胀痛B.经迟,量少,色淡,质稀,头晕眼花C.经迟,量少,色淡红,小腹隐痛喜热喜按D.经迟,量少,色黯红有血块,小腹冷痛拒按E.经迟,量多,色深红,质稠,小腹灼痛
A.抗菌治疗B.补液治疗C.糖皮质激素的使用D.血管活性药物的使用E.强心治疗霍乱治疗的关键是()
设计概算编制方法中,照明工程概算的编制方法包括()。【2004年真题】
新课程要求老师角色怎么转变?
从所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性:
ADSL是一种宽带接入技术,只需在线路两端加装ADSL设备(专用的MODEM)即可实现家庭PC机用户的高速联网。下面关于ADSL的叙述中不正确的是( )。
Hewenttothenewshoppingmall,and____________(以八折的价钱买了一套衣服).
最新回复
(
0
)