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  3. 已知矩阵A=有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q—1AQ=A。

已知矩阵A=有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q—1AQ=A。

admin2018-12-29  36
问题 已知矩阵A=有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q—1AQ=A。
选项
答案因λ=5是矩阵A的特征值，则由 ｜5E—A｜=[*]=3(4—a2)=0， 可得a=±2。 当a=2时，矩阵A的特征多项式 ｜λE—A｜=[*]=(λ—2)(λ—5)(λ—1)， 矩阵A的特征值是1，2，5。 由(E—A)x=0得基础解系α1=(0，1，—1)T；由(2E—A)x=0得基础解系α2=(1，0，0)T；由(5E—A)x=0得基础解系α3=(0，1，1)T。即矩阵A属于特征值1，2，5的特征向量分别是α1，α2，α3。 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则 [*] 令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*]，则有Q—1AQ=[*]。
解析
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考研数学一

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