交换累次积分的积分顺序：I=∫01dxf(x，y)dy+∫14dxf(x，y)dy．

admin2018-11-11 49

问题交换累次积分的积分顺序：I=∫₀¹dx

f(x，y)dy+∫₁⁴dx

f(x，y)dy．

选项

答案将累次积分表示为[*]f(x，y)dσ，累次积分的表示式表明：积分区域D由两部分构成，当0≤x≤1时，区域D的下侧边界为[*]，上侧边界为[*]；当1≤x≤4时，D的下侧边界为y=x-2，上侧边界为[*]．即 D={(x，y)｜0≤x≤1，[*]}∪{(x，y)｜1≤x≤4，x-2≤y≤[*]}. 其图形为图8．20所示，改变积分顺序，先对x求积分，就要把区域D的边界表示成y的函数，即D的左侧边界为x=y²，右侧边界为x=y+2，最后再求出x=y²与x=y+2的两个交点的纵坐标y=-1和y=2，即可将区域D表示为 D={(x，y)｜-1≤y≤2，y²≤x≤y+2}， [*] 由此不难写出新的累次积分．先对x积分，就是从区域D的左侧边界x=y²到右侧边界x=y+2．两边界线的交点为(1，-1)与(4，2)，于是由(8．4)式得 I=[*]f(x，y)dxdy=∫_-1²dy∫_y₂^y+2f(x，y)dx.

解析

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考研数学二

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