2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f(x)|≤a，|f″(x)|≤b，其中a，b都是非负常数.c为(0，1)内任意一点. (1)写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式； (2)证明：|f′(c)|≤2a+b/2.

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f(x)|≤a，|f″(x)|≤b，其中a，b都是非负常数.c为(0，1)内任意一点. (1)写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式； (2)证明：|f′(c)|≤2a+b/2.

admin2022-08-19  71
问题 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f(x)|≤a，|f″(x)|≤b，其中a，b都是非负常数.c为(0，1)内任意一点.
(1)写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；
(2)证明：|f′(c)|≤2a+b/2.
选项
答案(1)f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+[f″(ξ)/2!](x-c)2，其中ξ介于c与x之间. (2)分别令x=0，x=1，得 f(0)=(c)-f′(c)c+[f″(ξ1)/2!]c2，ξ1∈(0，c)， f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+[f″(ξ2)/2!](1-c)2，ξ2∈(c，1)， 两式相减，得f′(c)=f(1)-f(0)+[f″(ξ1)/2!]-[f″(ξ2)/2!](1-c)2，利用已知条件，得 |f′(c)|≤2a+b/2[c2+(1-c)2]， 因为c2+(1-c)2≤1，所以|f′(c)|≤2a+b/2.
解析
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考研数学三

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