设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f(x)|≤a,|f″(x)|≤b,其中a,b都是非负常数.c为(0,1)内任意一点. (1)写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式; (2)证明:|f′(c)|≤2a+b/2.

admin2022-08-19  47

问题 设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f(x)|≤a,|f″(x)|≤b,其中a,b都是非负常数.c为(0,1)内任意一点.
(1)写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式;
(2)证明:|f′(c)|≤2a+b/2.

选项

答案(1)f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+[f″(ξ)/2!](x-c)2,其中ξ介于c与x之间. (2)分别令x=0,x=1,得 f(0)=(c)-f′(c)c+[f″(ξ1)/2!]c2,ξ1∈(0,c), f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+[f″(ξ2)/2!](1-c)2,ξ2∈(c,1), 两式相减,得f′(c)=f(1)-f(0)+[f″(ξ1)/2!]-[f″(ξ2)/2!](1-c)2,利用已知条件,得 |f′(c)|≤2a+b/2[c2+(1-c)2], 因为c2+(1-c)2≤1,所以|f′(c)|≤2a+b/2.

解析
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