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设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f(x)|≤a,|f″(x)|≤b,其中a,b都是非负常数.c为(0,1)内任意一点. (1)写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式; (2)证明:|f′(c)|≤2a+b/2.
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f(x)|≤a,|f″(x)|≤b,其中a,b都是非负常数.c为(0,1)内任意一点. (1)写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式; (2)证明:|f′(c)|≤2a+b/2.
admin
2022-08-19
37
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f(x)|≤a,|f″(x)|≤b,其中a,b都是非负常数.c为(0,1)内任意一点.
(1)写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式;
(2)证明:|f′(c)|≤2a+b/2.
选项
答案
(1)f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+[f″(ξ)/2!](x-c)
2
,其中ξ介于c与x之间. (2)分别令x=0,x=1,得 f(0)=(c)-f′(c)c+[f″(ξ
1
)/2!]c
2
,ξ
1
∈(0,c), f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+[f″(ξ
2
)/2!](1-c)
2
,ξ
2
∈(c,1), 两式相减,得f′(c)=f(1)-f(0)+[f″(ξ
1
)/2!]-[f″(ξ
2
)/2!](1-c)
2
,利用已知条件,得 |f′(c)|≤2a+b/2[c
2
+(1-c)
2
], 因为c
2
+(1-c)
2
≤1,所以|f′(c)|≤2a+b/2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8jR4777K
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考研数学三
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