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  3. 设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明 ∫abf(x)dx｜+∫ab｜f’(x)｜dx。

设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明 ∫abf(x)dx｜+∫ab｜f’(x)｜dx。

admin2018-12-19  33
问题 设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明
∫abf(x)dx｜+∫ab｜f’(x)｜dx。
选项
答案可设[*] {｜f(x)｜}=｜f(x0)｜，即证 (b一a)f(x0)≤｜∫abf(x)dx｜+(b一a)∫ab｜f’(x)｜dx， 即有 ｜∫abf(x0)dx｜—｜∫abf(x)dx｜≤(b—a)∫ab｜f’(x)｜dx。 事实上 ｜∫abf(x0)dx｜—｜∫abf(x)dx｜≤｜∫ab[f(x0)—f(x)]dx｜ =｜∫ab[∫xx0f’(t)dt]dx｜≤∫ab[∫ab｜f’(t)｜dt]dx =(b一a)∫ab｜f’(x)｜dx。 故得证。
解析
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考研数学二

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