设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明 ∫abf(x)dx｜+∫ab｜f’(x)｜dx。

admin2018-12-19 64

问题设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明

∫_a^bf(x)dx｜+∫_a^b｜f’(x)｜dx。

选项

答案可设[*] {｜f(x)｜}=｜f(x₀)｜，即证 (b一a)f(x₀)≤｜∫_a^bf(x)dx｜+(b一a)∫_a^b｜f’(x)｜dx，即有｜∫_a^bf(x₀)dx｜—｜∫_a^bf(x)dx｜≤(b—a)∫_a^b｜f’(x)｜dx。事实上｜∫_a^bf(x₀)dx｜—｜∫_a^bf(x)dx｜≤｜∫_a^b[f(x₀)—f(x)]dx｜ =｜∫_a^b[∫_x^x₀f’(t)dt]dx｜≤∫_a^b[∫_a^b｜f’(t)｜dt]dx =(b一a)∫_a^b｜f’(x)｜dx。故得证。

解析

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