2. 考研
  3. (2000年)设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0，试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。

(2000年)设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0，试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。

admin2018-04-17  39
问题 (2000年)设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=0，∫0πf(x)cosxdx=0，试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，有F(0)=0，由题设有F(π)=0。 又由题设∫0πf(x)cosxdx=0，用分部积分，有0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x) =F(x)cosx|0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx， 由∫0πF(x)sinxdx=0可知，必存在一个ξ∈(0，π)，使得F(ξ)sinξ=0成立，否则，在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，这与∫0πF(x)sinxdx=0矛盾。 因为ξ∈(0，π)，sinξ≠0，所以存在ξ∈(0，π)，使得F(ξ)=0。再在区间[0，ξ]与[ξ，π]上对F(x)用罗尔定理，推知存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)使F’(ξ1)=0，F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0。
解析
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考研数学三

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