设A＝αβT，其中α和β都是n维列向量，证明对正整数k， Ak＝(βTα)k-1A＝(tr(A))k-1A． (tr(A)是A的对角线上元素之和，称为A的迹数．)

admin2018-11-23 49

问题设A＝αβ^T，其中α和β都是n维列向量，证明对正整数k，
A^k＝(β^Tα)^k-1A＝(tr(A))^k-1A．
(tr(A)是A的对角线上元素之和，称为A的迹数．)

选项

答案A^k＝(αβ^T)^k＝αβ^Tαβ^T…αβ^Tαβ^T＝α(β^Tα)(β^Tα)…(β^Tα)β^T＝(β^Tα)^k-1A． β^Tα＝a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n，而a₁b₁，a₂b₂，…，a_nb_n正好是A＝αβ^T的对角线上各元素，于是β^Tα ＝tr(A)， A^k＝(tr(A))^k-1A．

解析

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考研数学一

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