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设A是秩为3的5×4矩阵,α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,若α1+α2+2α3=(2,0,0,0)T, 3α1+α2=(2,4,6,8)T,则方程组Ax=b的通解是___________.
设A是秩为3的5×4矩阵,α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,若α1+α2+2α3=(2,0,0,0)T, 3α1+α2=(2,4,6,8)T,则方程组Ax=b的通解是___________.
admin
2017-03-29
53
问题
设A是秩为3的5×4矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,若α
1
+α
2
+2α
3
=(2,0,0,0)
T
, 3α
1
+α
2
=(2,4,6,8)
T
,则方程组Ax=b的通解是___________.
选项
答案
([*],0,0,0)
T
+k(0,2,3,4)
T
.
解析
由于秩r(A)=3,所以齐次方程组Ax=0的基础解系由4一r(A)=1个向量所构成.
又因为
(α
1
+α
2
+2α
3
)一(3α
1
+α
2
)=2(α
3
一α
1
)=(0,一4,一6,一8)
T
是Ax=0的解,即其基础解系可以是(0,2,3,4)
T
.由
A(α
1
+α
2
+2α
3
)=Aα
1
+Aα
2
+2Aα
3
=4b,
知
(α
1
+α
2
+2α
3
)是方程组Ax=b的一个解.那么根据方程组解的结构知其通解是
(
,0,0,0)
T
+k(0,2,3,4)
T
.
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考研数学一
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