(2000年试题，二)设n维列向量组α1，…，αm(m

admin2013-12-27 67

问题 (2000年试题，二)设n维列向量组α₁，…，α_m(m1，…，β_m线性无关的充分必要条件为( )．

选项 A、向量组α₁……α_m可由向量组β₁，…，β_m线性表示
B、向量组β₁，…，β_m可由向量组α₁……α_m线性表示
C、向量组α₁……α_m与向量组β₁，…，β_m等价
D、矩阵A=(α₁……α_m)与矩阵B=(β₁，…，β_m)等价

答案D

解析根据题设，逐一分析各个选项．关于A，它是向量组β₁β₂……β_m线性无关的充分条件，但不是必要条件；关于B，它与β₁β₂……β_m线性无关无直接联系；关于C，它也是向量组β₁β₂……β_m线性无关的充分但非必要条件；D是β₁β₂……β_m线性无关的充分必要条件，因为矩阵A与B等价的充要条件是经过初等变换后形成的标准形相同．综上，选D．
注意两个矩阵等价与两个向量组等价有本质差别．两个矩阵等价仅仅是秩相等，而两个向量组等价则要求它们能相互线性表示．一般而言，向量组α₁，α₂……α_s与向量组β₁β₂……β_t等价→矩阵A=(α₁，α₂……α_s)与矩阵B=(β₁β₂……β_t)等价，但反过来并不成立．

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考研数学一

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