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设矩阵A=(a1，a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4线性无关，a1=2a2—a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程Ax=b的通解．
设矩阵A=(a1，a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4线性无关，a1=2a2—a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程Ax=b的通解．
admin
2021-02-25
30
问题
设矩阵A=(a
1
，a
2
，a
3
，a
4
)，其中a
2
，a
3
，a
4
线性无关，a
1
=2a
2
—a
3
，向量b=a
1
+a
2
+a
3
+a
4
，求方程Ax=b的通解．
选项
答案
方法一：因为a
1
=2a
2
一a
3
，则a
1
，a
2
，a
3
线性相关，从而可得a
1
，a
2
，a
3
，a
4
线性相关，而a
2
，a
3
，a
4
线性无关，所以R(A)=3，从而可得方程Ax=0的基础解系中解向量个数为1，由a
1
=2a
2
—a
3
可得O=a
1
—2a
2
+a
3
=(a
1
，a
2
，a
3
，a
4
)[*] 所以x=(1，一2，1，0)
T
是Ax=0的一基础解系． 又因为b=a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=(a
1
，a
2
，a
3
，a
4
)[*]，所以(1，1，1，1)
T
是Ax=b的一个特解．所以方程Ax=b的通解为x=k[*]，k∈R． 方法二：令x=(x
1
，x
2
，x
3
，x
4
)
T
是方程Ax=b的解，即有x
1
a
1
+x
2
a
2
+x
3
a
3
+x
4
a
4
=b.所以 x
1
(2a
2
一a
3
)+x
2
a
2
+x
3
a
3
+x
4
a
4
=a
1
+a
2
+a
3
+a
4
， 即(2x
1
+x
2
)a
2
+(x
3
一x
1
)a
3
+x
4
a
4
=2a
2
一a
3
+a
2
+a
3
+a
4
， 即(2x
1
+x
2
—3)a
2
+(一x
1
+x
3
)a
3
+(x
4
—1)a
4
=0． 因为a
2
，a
3
，a
4
线性无关，从而有[*] 解方程组可得[*]，k∈R，即为Ax=b的通解．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/V484777K
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考研数学二
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