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设L:(x≥0,y≥0],过点L上一点作切线,求切线与曲线所围成面积的最小值。
设L:(x≥0,y≥0],过点L上一点作切线,求切线与曲线所围成面积的最小值。
admin
2019-05-27
52
问题
设L:
(x≥0,y≥0],过点L上一点作切线,求切线与曲线所围成面积的最小值。
选项
答案
首先求切线与坐标轴围成的面积,设M(x,y)∈L,过点M的L的切线方程为[*] 令Y=0,得X=[*],切线与x轴的交点为P([*],0) 令X=0,得Y=[*],切线与y轴的交点为Q(0,[*]) 切线与椭圆围成的图形面积为S(x,y)=[*] 其次求最优解。 方法一:设F(x,y,λ)=xy+λ([*]+y
2
-1), F’
x
=1/2λx+y=0, ① F’
y
=x+2λy=0, ② F’
λ
=1/4x
2
+y
2
-1=0 ③ 由[*]得λ=-1(λ=1舍去) 带入①,得y=1/2x,再带入③,得[*]于是最小面积为S=2-π/2 方法二:由①②,得y=-1/2λx,x=-2λy [*]
解析
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考研数学二
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