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设三元二次型f=xTAx的二次型矩阵A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=-1,ξ3=(0,1,1)T为对应于λ3=-1的特征向量。 求f=xTAx的表达式。
设三元二次型f=xTAx的二次型矩阵A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=-1,ξ3=(0,1,1)T为对应于λ3=-1的特征向量。 求f=xTAx的表达式。
admin
2022-03-23
120
问题
设三元二次型f=x
T
Ax的二次型矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=-1,ξ
3
=(0,1,1)
T
为对应于λ
3
=-1的特征向量。
求f=x
T
Ax的表达式。
选项
答案
由上一问可得知,对应于特征值1的两个线性无关的特征向量可取为x
2
+x
3
=0的基础解系 ξ
1
=(1,0,0)
T
,ξ
2
=(0,1,-1)
T
将ξ
1
=(1,0,0)
T
,ξ
2
=(0,1,-1)
T
,ξ
3
=(0,1,1)
T
单位化得 η
1
=ξ
1
=(1,0,0)
T
,η
2
=[*],η
3
=[*] 令Q=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*],则Q是一个正交矩阵,且 Q
T
AQ=Q
-1
AQ=[*] 由此可得A=QAQ
-1
=QAQ
T
=[*],于是f=x
1
2
-2x
2
x
3
。
解析
常见的题目是,已知A是实对称矩阵,且λ
1
≠λ
2
,有ξ
1
⊥ξ
2
;此题的命题特色是反其道而行之,需要重视。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/lIR4777K
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考研数学三
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