2. 考研
  3. 设三元二次型f=xTAx的二次型矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－1，ξ3=（0,1,1）T为对应于λ3=－1的特征向量。 求f=xTAx的表达式。

设三元二次型f=xTAx的二次型矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－1，ξ3=（0,1,1）T为对应于λ3=－1的特征向量。 求f=xTAx的表达式。

admin2022-03-23  115
问题 设三元二次型f=xTAx的二次型矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－1，ξ3=（0,1,1）T为对应于λ3=－1的特征向量。
求f=xTAx的表达式。
选项
答案由上一问可得知，对应于特征值1的两个线性无关的特征向量可取为x2+x3=0的基础解系 ξ1=（1,0,0）T，ξ2=（0,1，－1）T 将ξ1=（1,0,0）T，ξ2=（0,1，－1）T，ξ3=（0,1,1）T单位化得 η1=ξ1=（1,0,0）T，η2=[*],η3=[*] 令Q=(η1，η2，η3)=[*],则Q是一个正交矩阵，且 QTAQ=Q-1AQ=[*] 由此可得A=QAQ-1=QAQT=[*],于是f=x12－2x2x3。
解析 常见的题目是，已知A是实对称矩阵，且λ1≠λ2，有ξ1⊥ξ2；此题的命题特色是反其道而行之，需要重视。
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考研数学三

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