设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组（1）Ax=0和（2）ATAx=0，必有（）

admin2019-07-12 65

问题设A为n阶矩阵，A^T是A的转置矩阵，对于线性方程组（1）Ax=0和（2）A^TAx=0，必有（）

选项 A、（1）的解是（2）的解，（2）的解也是（1）的解
B、（1）的解是（2）的解，（2）的解不是（1）的解
C、（2）的解是（1）的解，（1）的解不是（2）的解
D、（2）的解不是（1）的解，（1）的解也不是（2）的解

答案A

解析如果α是（1）的解，有Aα=0，可得
A^TAα=A^T（Aα）=A^T0=0，
即α是（2）的解。故（1）的解必是（2）的解。
反之，若α是（2）的解，有A^TAα=0，用α^T左乘可得
0=α^T0=α^T（A^TAα）=（α^TA^T）（Aα）=（Aα）^T（Aα），
若设Aα=（b₁，b₂，…，b_n），那么
（Aα）^T（Aα）=b₁²+b₂²+…+b_n²=0

b_i=0（i=1，2，…，n），
即Aα=0，说明α是（1）的解。因此（2）的解也必是（1）的解。所以应选A。

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考研数学三

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