设函数fi(x)(i=1,2)具有二阶连续导数,且f”i(x0)<0(i=1,2).若两条曲线y=fi(x)(i=1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率,则在x0的某个邻域内,有(

admin2022-09-22  43

问题 设函数fi(x)(i=1,2)具有二阶连续导数,且f”i(x0)<0(i=1,2).若两条曲线y=fi(x)(i=1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率,则在x0的某个邻域内,有(          ).

选项 A、f’x-f’y=0
B、f2(x)≤f1(x)≤g(x)
C、f1(x)≤g(x)≤f2(x)
D、f2(x)≤g(x)≤f1(x)

答案A

解析 本题考查曲线凹凸性和曲率的定义.
    设f(x)具有二阶连续导数,若在点(x0,y0)处,曲线f”(x0)<0,则在x0的某邻域内,曲线f(x)是凸的.
    曲线的曲率表示曲线在某一切点处弯曲程度的数值.曲线的曲率越大,弯曲程度越大.
    由于fi”(x0)<0(i=1,2),且fi”(x0)连续,可知在x0的某邻域内,曲线f1(x)和f2(x)均是凸的.而y=f1(x)与y=f2(x)在(x0,y0)处有公切线y=g(x),可知曲线f1(x)和f2(x)都在公切线g(x)下方,且f1(x)≤g(x),f2(x)≤g(x).
    又在点(x0,y0)处,曲线f1(x)的曲率大于曲线f2(x)的曲率,可知在该点的某邻域内,曲线f1(x)的弯曲程度大于曲线f2(x)的弯曲程度,则f1(x)≤f2(x)必成立.
    综上所述,f1(x)≤f2(x)≤g(x).因此A项正确.
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