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设函数fi(x)(i=1,2)具有二阶连续导数,且f”i(x0)<0(i=1,2).若两条曲线y=fi(x)(i=1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率,则在x0的某个邻域内,有(
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admin
2022-09-22
55
问题
设函数f
i
(x)(i=1,2)具有二阶连续导数,且f”
i
(x
0
)<0(i=1,2).若两条曲线y=f
i
(x)(i=1,2)在点(x
0
,y
0
)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f
1
(x)的曲率大于曲线y=f
2
(x)的曲率,则在x
0
的某个邻域内,有( ).
选项
A、f’
x
-f’
y
=0
B、f
2
(x)≤f
1
(x)≤g(x)
C、f
1
(x)≤g(x)≤f
2
(x)
D、f
2
(x)≤g(x)≤f
1
(x)
答案
A
解析
本题考查曲线凹凸性和曲率的定义.
设f(x)具有二阶连续导数,若在点(x
0
,y
0
)处,曲线f”(x
0
)<0,则在x
0
的某邻域内,曲线f(x)是凸的.
曲线的曲率表示曲线在某一切点处弯曲程度的数值.曲线的曲率越大,弯曲程度越大.
由于f
i
”(x
0
)<0(i=1,2),且f
i
”(x
0
)连续,可知在x
0
的某邻域内,曲线f
1
(x)和f
2
(x)均是凸的.而y=f
1
(x)与y=f
2
(x)在(x
0
,y
0
)处有公切线y=g(x),可知曲线f
1
(x)和f
2
(x)都在公切线g(x)下方,且f
1
(x)≤g(x),f
2
(x)≤g(x).
又在点(x
0
,y
0
)处,曲线f
1
(x)的曲率大于曲线f
2
(x)的曲率,可知在该点的某邻域内,曲线f
1
(x)的弯曲程度大于曲线f
2
(x)的弯曲程度,则f
1
(x)≤f
2
(x)必成立.
综上所述,f
1
(x)≤f
2
(x)≤g(x).因此A项正确.
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考研数学二
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