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求下列二重积分: (Ⅰ)I=,其中D为正方形域:0≤x≤1,0≤y≤1; (Ⅱ)I=|3x+4y|dxdy,其中D:x2+y2≤1; (Ⅲ)I=ydxdy,其中D由直线x=-2,y=0,y=2及曲线x=所围成.
求下列二重积分: (Ⅰ)I=,其中D为正方形域:0≤x≤1,0≤y≤1; (Ⅱ)I=|3x+4y|dxdy,其中D:x2+y2≤1; (Ⅲ)I=ydxdy,其中D由直线x=-2,y=0,y=2及曲线x=所围成.
admin
2019-02-26
49
问题
求下列二重积分:
(Ⅰ)I=
,其中D为正方形域:0≤x≤1,0≤y≤1;
(Ⅱ)I=
|3x+4y|dxdy,其中D:x
2
+y
2
≤1;
(Ⅲ)I=
ydxdy,其中D由直线x=-2,y=0,y=2及曲线x=
所围成.
选项
答案
察积分区域与被积函数的特点,选择适当方法求解. (Ⅰ)尽管D的边界不是圆弧,但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便. D的边界线x=1及y=1的极坐标方程分别为 [*] 于是 [*] (Ⅱ)在积分区域D上被积函数分块表示,若用分块积分法较复杂.因D是圆域,可用极坐标变换转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形.这时可利用周期函数的积分性质. 作极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ,则D:0≤θ≤2π,0≤r≤1.从而 [*] 其中sinθ
0
=[*].由周期函数的积分性质,令t=θ+θ
0
就有 [*] (Ⅲ) D的图形如图9.53所示.若把D看成正方形区域挖去半圆D
1
,则计算D
1
上的积分自然选用极坐标变换. 若只考虑区域D,则自然考虑先x后y的积分顺序化为累次积分.若注意D关于直线y=1对称,选择平移变换则最为方便. [*] 作平移变换u=x,v=y-1,注意曲线x=[*]即x
2
+(y-1)
2
=1,x≤0,则D变成D′.D′由u=-2,v=-1,v=1,u
2
+v
2
=1(u≤0)围成,则 [*] (在uv平面上D′关于u轴对称)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/lT04777K
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考研数学一
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