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设数列{an}满足条件:a0=3,a1=1,an—2一n(n一1)an=0(n≥2),s(x)是幂级数anx的和函数, (Ⅰ)证明:s"(x)一s(x)=0; (Ⅱ)求s(x)的表达式。
设数列{an}满足条件:a0=3,a1=1,an—2一n(n一1)an=0(n≥2),s(x)是幂级数anx的和函数, (Ⅰ)证明:s"(x)一s(x)=0; (Ⅱ)求s(x)的表达式。
admin
2018-05-25
92
问题
设数列{a
n
}满足条件:a
0
=3,a
1
=1,a
n—2
一n(n一1)a
n
=0(n≥2),s(x)是幂级数
a
n
x的和函数,
(Ⅰ)证明:s"(x)一s(x)=0;
(Ⅱ)求s(x)的表达式。
选项
答案
(Ⅰ)设s(x)=[*]a
n
n(n一1)x。 又已知a
n—2
一n(n一1)a
n
=0,即a
n—2
=n(n一1)a
n
,因此 s"(x)=[*]a
n
x=s(x)。 故有s"(x)一s(x)=0。 (Ⅱ)微分方程s"(x)一s(x)=0的特征方程为λ
2
一1=0,解得λ
1
=一1,λ
2
=1,所以s(x)=c
1
e
-x
+c
2
e
x
,其中c
1
,c
2
为常数。又a
0
=s(0)=3→c
1
+c
2
=3,a
1
=s’(0)=1→c
2
一c
1
=1,解得c
1
=1,C
2
=2,所以s(x)=e
-x
+2e
x
。
解析
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考研数学一
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