2. 考研
  3. 设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an—2一n(n一1)an=0(n≥2)，s(x)是幂级数anx的和函数， (Ⅰ)证明：s"(x)一s(x)=0； (Ⅱ)求s(x)的表达式。

设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an—2一n(n一1)an=0(n≥2)，s(x)是幂级数anx的和函数， (Ⅰ)证明：s"(x)一s(x)=0； (Ⅱ)求s(x)的表达式。

admin2018-05-25  56
问题 设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an—2一n(n一1)an=0(n≥2)，s(x)是幂级数anx的和函数，
  (Ⅰ)证明：s"(x)一s(x)=0；
  (Ⅱ)求s(x)的表达式。
选项
答案(Ⅰ)设s(x)=[*]ann(n一1)x。 又已知an—2一n(n一1)an=0，即an—2=n(n一1)an，因此 s"(x)=[*]anx=s(x)。 故有s"(x)一s(x)=0。 (Ⅱ)微分方程s"(x)一s(x)=0的特征方程为λ2一1=0，解得λ1=一1，λ2=1，所以s(x)=c1e-x+c2ex，其中c1，c2为常数。又a0=s(0)=3→c1+c2=3，a1=s’(0)=1→c2一c1=1，解得c1=1，C2=2，所以s(x)=e-x+2ex。
解析
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考研数学一

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