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  3. 求功： (I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功? (II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?

求功： (I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功? (II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?

admin2017-08-18  57
问题 求功：
(I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?
(II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?
选项
答案(I)方法1 (微元法)．以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系． [*]取下半球中的微元薄片，即[*]取小区间[x，x＋dx][*][一1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1一x2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1＋x)，故需做功dw1＝(1＋x)π(1一x2)dx．因此，对下半球做的功 w1＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx [*]取上半球中的微元薄片，即[*]取小区间[x，x＋dx][*][0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1一x2)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1． 所受力为重力，故需做功 dw2＝π(1一x2)dx．因此，对上半球做的功 w2＝∫01π(1—x2)dx． 于是，对整个球做的功为 w＝w1＋w2＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx＋∫01π(1—x2)dx ＝∫-1-1π(1—x2)dx＋∫-10πx(1—x2)dx [*] 方法2 把球的质量[*]集中于球心．球从水中取出作的功可以看成质量为[*]的质点向上移动距离为1时变力的做功．问题归结为求变力F．(重力与浮力的合力) 球受的重力＝球的体积， 球受的浮力＝沉在水中的球的体积， 它们的合力＝球露出水面部分的体积． 当球心向上移距离h(0≤h≤1)时，球露出水面部分的体积： [*] 因此，取出球时需做功 [*] (Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]． [*][x，x＋dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 π(R2—x2)dx， 又比重ρ＝1，于是把这层水抽出需做功dw＝πx(R2一x2)dx．因此，所求的功 [*]
解析
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考研数学一

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