求功： (I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功? (II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?

admin2017-08-18 54

问题求功：
(I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?
(II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?

选项

答案(I)方法1 (微元法)．以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系． [*]取下半球中的微元薄片，即[*]取小区间[x，x＋dx][*][一1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1一x²)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1＋x)，故需做功dw₁＝(1＋x)π(1一x²)dx．因此，对下半球做的功 w₁＝∫_-1₀π(1＋x)(1—x²)dx [*]取上半球中的微元薄片，即[*]取小区间[x，x＋dx][*][0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1一x²)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功 dw₂＝π(1一x²)dx．因此，对上半球做的功 w₂＝∫₀₁π(1—x²)dx．于是，对整个球做的功为 w＝w₁＋w₂＝∫_-1₀π(1＋x)(1—x²)dx＋∫₀₁π(1—x²)dx ＝∫_-1_-1π(1—x²)dx＋∫_-1₀πx(1—x²)dx [*] 方法2 把球的质量[*]集中于球心．球从水中取出作的功可以看成质量为[*]的质点向上移动距离为1时变力的做功．问题归结为求变力F．(重力与浮力的合力) 球受的重力＝球的体积，球受的浮力＝沉在水中的球的体积，它们的合力＝球露出水面部分的体积．当球心向上移距离h(0≤h≤1)时，球露出水面部分的体积： [*] 因此，取出球时需做功 [*] (Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]． [*][x，x＋dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 π(R²—x²)dx，又比重ρ＝1，于是把这层水抽出需做功dw＝πx(R²一x²)dx．因此，所求的功 [*]

解析

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考研数学一

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求功： (I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功? (II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?

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