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求功: (I)设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出,问要做多少功? (II)半径为R的半球形水池,其中充满了水,要把池内的水全部取尽需做多少功?
求功: (I)设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出,问要做多少功? (II)半径为R的半球形水池,其中充满了水,要把池内的水全部取尽需做多少功?
admin
2017-08-18
86
问题
求功:
(I)设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出,问要做多少功?
(II)半径为R的半球形水池,其中充满了水,要把池内的水全部取尽需做多少功?
选项
答案
(I)方法1 (微元法).以球心为原点,x轴垂直向上,建立坐标系. [*]取下半球中的微元薄片,即[*]取小区间[x,x+dx][*][一1,0],相应的球体小薄片,其重量(即体积)为π(1一x
2
)dx,在水中浮力与重力相符,当球从水中移出时,此薄片移动距离为(1+x),故需做功dw
1
=(1+x)π(1一x
2
)dx.因此,对下半球做的功 w
1
=∫
-1
0
π(1+x)(1—x
2
)dx [*]取上半球中的微元薄片,即[*]取小区间[x,x+dx][*][0,1],相应的小薄片,其重量为π(1一x
2
)dx,当球从水中移出时,此薄片移动距离为1. 所受力为重力,故需做功 dw
2
=π(1一x
2
)dx.因此,对上半球做的功 w
2
=∫
0
1
π(1—x
2
)dx. 于是,对整个球做的功为 w=w
1
+w
2
=∫
-1
0
π(1+x)(1—x
2
)dx+∫
0
1
π(1—x
2
)dx =∫
-1
-1
π(1—x
2
)dx+∫
-1
0
πx(1—x
2
)dx [*] 方法2 把球的质量[*]集中于球心.球从水中取出作的功可以看成质量为[*]的质点向上移动距离为1时变力的做功.问题归结为求变力F.(重力与浮力的合力) 球受的重力=球的体积, 球受的浮力=沉在水中的球的体积, 它们的合力=球露出水面部分的体积. 当球心向上移距离h(0≤h≤1)时,球露出水面部分的体积: [*] 因此,取出球时需做功 [*] (Ⅱ)建立坐标系如图3.6.取x为积分变量,x∈[0,R]. [*][x,x+dx]相应的水薄层,看成圆柱体,其体积为 π(R
2
—x
2
)dx, 又比重ρ=1,于是把这层水抽出需做功dw=πx(R
2
一x
2
)dx.因此,所求的功 [*]
解析
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考研数学一
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