设平面上连续曲线y＝f(χ)(a≤χ≤b，f(χ)＞0)和直线χ＝a，χ＝b及χ轴所围成的图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的质心是(，0，0)，则的定积分表达式是_______．

admin2016-07-20 78

问题设平面上连续曲线y＝f(χ)(a≤χ≤b，f(χ)＞0)和直线χ＝a，χ＝b及χ轴所围成的图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的质心是(

，0，0)，则

的定积分表达式是_______．

选项

答案∫_a^bχf²(χ)dχ／∫_a^bf²(χ)dχ．

解析在空间Oχyz中，设该旋转体为Ω，不妨设体密度为1，按质心公式

其中V为Ω的体积，按旋转体体积公式
V＝∫_a^bπf²(χ)dχ．
现按先二后一化三重积分为累次积分公式，过χ轴上χ∈[a，b]处作平面与χ轴垂直与Ω相交的截面区域记为D(χ)，它是圆域：y²＋z²≤f²(χ)，面积为nf²(χ)，则

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