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  3. 设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n．

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n．

admin2017-08-31  72
问题 设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n．
选项
答案必要性：设BTAB是正定矩阵，则对任意的X≠0，XTBTABX=(BX)TA(BX)＞0，所以 BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX=0只有零解，所以r(B)=n． 充分性：反之，设r(B)=n，则对任意的X≠0，有BX≠0， 因为A为正定矩阵，所以XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0， 因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，所以BTAB为对称矩阵，所以BTAB为正定矩阵．
解析
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考研数学一

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