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设f(x,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且f’y(a,b)≠0,证明由方程f(x,y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值=φ(a)的必要条件是:f(a,b)=0, f’x(a,b)=0,且当r(a,b)>0时,
设f(x,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且f’y(a,b)≠0,证明由方程f(x,y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值=φ(a)的必要条件是:f(a,b)=0, f’x(a,b)=0,且当r(a,b)>0时,
admin
2017-08-18
58
问题
设f(x,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且f’
y
(a,b)≠0,证明由方程f(x,y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值=φ(a)的必要条件是:f(a,b)=0, f’
x
(a,b)=0,且当r(a,b)>0时,b=φ(a)是极大值;当r(a,b)<0时,b=φ(a)是极小值.其中
选项
答案
y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φ’(a)=0.按隐函数求导法,φ’(x)满足 f’
x
(x,φ(x))+f’
y
(x,φ(x))φ’(x)=0. (*) 因b=φ(a),则有 f(a,b)=0,φ’(a)=[*] 于是f
x
’(a,b)=0. 将(*)式两边对x求导得 f’’
xx
(x,φ(x))+f’’
xy
(x,φ(x))φ’(x)+[*][f’
y
(x,φ(x))]φ’(x)+f’
y
(x,φ(x))φ’’(x)=0, 上式中令x=a,φ(x)=b,φ’(a)=0,得 [*] 因此当[*]时,φ’’(a)<0,故b=φ(a)是极大值; 当[*]时,φ’’(a)>0,故b=φ(a)是极小值.
解析
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考研数学一
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