2. 考研
  3. 设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f’y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)＝0在x＝a的某邻域所确定的隐函数y＝φ(x)在x＝a处取得极值＝φ(a)的必要条件是：f(a，b)＝0， f’x(a，b)＝0，且当r(a，b)＞0时，

设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f’y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)＝0在x＝a的某邻域所确定的隐函数y＝φ(x)在x＝a处取得极值＝φ(a)的必要条件是：f(a，b)＝0， f’x(a，b)＝0，且当r(a，b)＞0时，

admin2017-08-18  59
问题 设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f’y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)＝0在x＝a的某邻域所确定的隐函数y＝φ(x)在x＝a处取得极值＝φ(a)的必要条件是：f(a，b)＝0， f’x(a，b)＝0，且当r(a，b)＞0时，b＝φ(a)是极大值；当r(a，b)<0时，b＝φ(a)是极小值．其中
选项
答案y＝φ(x)在x＝a处取得极值的必要条件是φ’(a)＝0．按隐函数求导法，φ’(x)满足 f’x(x，φ(x))＋f’y(x，φ(x))φ’(x)＝0． (*) 因b＝φ(a)，则有 f(a，b)＝0，φ’(a)＝[*] 于是fx’(a，b)＝0． 将(*)式两边对x求导得 f’’xx(x，φ(x))＋f’’xy(x，φ(x))φ’(x)＋[*][f’y(x，φ(x))]φ’(x)＋f’y(x，φ(x))φ’’(x)＝0， 上式中令x＝a，φ(x)＝b，φ’(a)＝0，得 [*] 因此当[*]时，φ’’(a)＜0，故b＝φ(a)是极大值； 当[*]时，φ’’(a)＞0，故b＝φ(a)是极小值．
解析
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考研数学一

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