2. 考研
  3. 求下列二重积分： (Ⅰ)I=，其中D为正方形域：0≤x≤1，0≤y≤1； (Ⅱ)I=｜3x+4y｜dxdy，其中D：x2+y2≤1； (Ⅲ)I=ydxdy，其中D由直线z=-2，y=0，y=2及曲线x=所围成．

求下列二重积分： (Ⅰ)I=，其中D为正方形域：0≤x≤1，0≤y≤1； (Ⅱ)I=｜3x+4y｜dxdy，其中D：x2+y2≤1； (Ⅲ)I=ydxdy，其中D由直线z=-2，y=0，y=2及曲线x=所围成．

admin2019-04-22  44
问题 求下列二重积分：
(Ⅰ)I=，其中D为正方形域：0≤x≤1，0≤y≤1；
(Ⅱ)I=｜3x+4y｜dxdy，其中D：x2+y2≤1；
(Ⅲ)I=ydxdy，其中D由直线z=-2，y=0，y=2及曲线x=所围成．
选项
答案考察积分区域与被积函数的特点，选择适当方法求解． (Ⅰ)尽管D的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便． D的边界线x=1及y=1的极坐标方程分别为 [*] 于是 [*] (Ⅱ)在积分区域D上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂．因D是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形．这时可利用周期函数的积分性质． 作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，则D：0≤θ≤2π，0≤r≤1．从而 I=∫02π｜3cosθ+4sinθ｜dθ∫01.rdr =[*]∫02πsin(θ+θ0)｜dθ， 其中sinθ0=[*]，cosθ0=[*]．由周期函数的积分性质，令t=θ+θ0就有 [*] (Ⅲ)D的图形如图8．27所示．若把D看成正方形区域挖去半圆D1，则计算D1上的积分自然选用极坐标变换．若只考虑区域D，则自然考虑先x后y的积分顺序化为累次积分．若注意D关于直线y=1对称，选择平移变换则最为方便． 作平移变换u=x，v=y-1，注意曲线[*] 即x2+(y-1)2=1，x≤0，则D变成D’. D’由u=-2，v=-1，v=1，u2+v2=1(u≤0)围成，则 [*]
解析
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考研数学二

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