求曲面x2+2y2+3z2=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0。

admin2019-06-10 52

问题求曲面x²+2y²+3z²=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0。

选项

答案设曲面上过点(x₀，y₀，z₀)的切平面和平面x+4y+6z=0平行。又曲面上过点(x₀，y₀，z₀)的切平面为 2x₀(x－x₀)+4y₀(y－y₀)+6z₀(z－z₀)=0，故[*]，所以2x₀=y₀=z₀，代入曲面方程，得 x₀²+8x₀²+12x₀²=21，所以x₀=±1，可见，在点(1，2，2)和点(－1，－2，－2)处的切平面与所在平面平行。在点(1，2，2)处切平面为x+4y+6z=21；在点(－1，－2，－2)处切平面为x+4y+6z=－21。

解析

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