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(2000年)设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有 其中函数f(x)在(0,+∞)内具有连续的一阶导数,且求f(x)。
(2000年)设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有 其中函数f(x)在(0,+∞)内具有连续的一阶导数,且求f(x)。
admin
2019-07-23
21
问题
(2000年)设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有
其中函数f(x)在(0,+∞)内具有连续的一阶导数,且
求f(x)。
选项
答案
由题设条件,可以用高斯公式: [*] 其中,Ω为S所围成的有界闭区域,当S的法向量指向Ω外时,“±”中取“+”;当S的法向量指向Ω内时,“±”中取“一”。由S的任意性,知被积函数应为恒等于零的函数,即 xf′(x)+f(x)一xf(x)一e
2x
=0(x>0), 变形后得 [*] 这是一阶线性非齐次微分方程,其通解为 [*] 由于[*]故必有[*](否则不能满足极限值为1),即C+1=0,从而C=一1。因此, [*]
解析
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