(2000年)设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且求f(x)。

admin2019-07-23 39

问题 (2000年)设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有

其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且

求f(x)。

选项

答案由题设条件，可以用高斯公式： [*] 其中，Ω为S所围成的有界闭区域，当S的法向量指向Ω外时，“±”中取“+”；当S的法向量指向Ω内时，“±”中取“一”。由S的任意性，知被积函数应为恒等于零的函数，即 xf′(x)+f(x)一xf(x)一e^2x=0(x＞0)，变形后得 [*] 这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为 [*] 由于[*]故必有[*](否则不能满足极限值为1)，即C+1=0，从而C=一1。因此， [*]

解析

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