设λ≠0是m阶矩阵Am×nBn×m的特征值，证明：λ也是n阶矩阵BA的特征值．

admin2020-06-05 18

问题设λ≠0是m阶矩阵A_m×nB_n×m的特征值，证明：λ也是n阶矩阵BA的特征值．

选项

答案方法一因为λ是矩阵AB的任一非零特征值，设x是对应于λ≠0的特征向量，则有(AB)x＝λx(x≠0)，用矩阵B左乘上式两边，得(BA)Bx＝B(ABx)＝B(λx)＝λ(Bx)．下面只需说明Bx≠0．若Bx＝0，则由(AB)x＝λx可得λx＝0，因为x是对应于特征值λ的特征向量，故x≠0，于是λ＝0，这与λ≠0矛盾，于是Bx≠0，进而可知λ也是n阶矩阵BA的特征值，Bx为对应于λ的特征向量．方法二若记P＝[*]，则P^﹣1＝[*]，且 [*] 因此矩阵[*]与矩阵[*]相似，从而有相同的特征多项式，于是 [*] 即[*] 所以 (﹣λ)ⁿ｜AB－λE_m｜＝(﹣λ)^m｜BA－λE_n｜若λ≠0是m阶矩阵A_m×nB_n×m的特征值，则有｜BA－λE_n｜＝(﹣λ)^n－m｜AB－λE_m｜＝0，于是λ≠0也是n阶矩阵BA的特征值．

解析

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考研数学一

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