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设λ≠0是m阶矩阵Am×nBn×m的特征值,证明:λ也是n阶矩阵BA的特征值.
设λ≠0是m阶矩阵Am×nBn×m的特征值,证明:λ也是n阶矩阵BA的特征值.
admin
2020-06-05
16
问题
设λ≠0是m阶矩阵A
m×n
B
n×m
的特征值,证明:λ也是n阶矩阵BA的特征值.
选项
答案
方法一 因为λ是矩阵AB的任一非零特征值,设x是对应于λ≠0的特征向量,则有(AB)x=λx(x≠0),用矩阵B左乘上式两边,得(BA)Bx=B(ABx)=B(λx)=λ(Bx). 下面只需说明Bx≠0.若Bx=0,则由(AB)x=λx可得λx=0,因为x是对应于特征值λ的特征向量,故x≠0,于是λ=0,这与λ≠0矛盾,于是Bx≠0,进而可知λ也是n阶矩阵BA的特征值,Bx为对应于λ的特征向量. 方法二 若记P=[*],则P
﹣1
=[*],且 [*] 因此矩阵[*]与矩阵[*]相似,从而有相同的特征多项式,于是 [*] 即[*] 所以 (﹣λ)
n
|AB-λE
m
|=(﹣λ)
m
|BA-λE
n
| 若λ≠0是m阶矩阵A
m×n
B
n×m
的特征值,则有|BA-λE
n
|=(﹣λ)
n-m
|AB-λE
m
|=0,于是λ≠0也是n阶矩阵BA的特征值.
解析
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考研数学一
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