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设,n=0,1,2,….则下列关于an的关系式成立的是 ( )
设,n=0,1,2,….则下列关于an的关系式成立的是 ( )
admin
2018-07-23
49
问题
设
,n=0,1,2,….则下列关于a
n
的关系式成立的是 ( )
选项
A、a
n+2
=a
n+1
+ a
n
.
B、a
n+3
=a
n
.
C、a
n+4
=a
n+2
+ a
n
.
D、a
n+6
=a
n
.
答案
D
解析
由
得f(0)=1,再由
f(x)(x
2
-x+1)=x+1, (*)
两边对x求一阶导数,得
fˊ(x)(x
2
-x+1)+ f(x)(2x-1)=1.
将x=0代入,得
fˊ(0) -f (0)=1, fˊ(0)=f (0)+1=2.
将(*)两边对x求n阶导数,n≥2,有
f
(n)
(x)(x
2
-x+1)+C
n
1
f
(n-1)
(x)(2x-1)+C
n
2
f
(n-2)
(x)·2=0,
将x=0代入,得
f
(n)
(0)-C
n
1
f
(n-1)
(0)+2 C
n
2
f
(n-2)
(0) =0,
又因为
所以有
或写成
a
n+2
=a
n+1
-a
n
,n=0,1,2,…. (**)
现在验算A~D中哪一个正确.
显然,由递推公式(**)知, A的左边以a
n+2
=a
n+1
-a
n
,仅当a
n
=0时才有A的左边等于A的右边,故A不正确.
再验算B.B的左边
a
n+3
=a
n+2
-a
n+1
= a
n+1
-a
n
-a
n+1
=-a
n
,
所以仅当a
n
=0时, B的左边等于B的右边,故B不正确.
再验算C. C的左边
a
n-4
=a
n+3
-a
n+2
= a
n+2
-a
n+1
-a
n+2
=-a
n+1
,
C的右边
a
n+2
+ a
n
= a
n+1
-a
n
-a
n
=a
n+1
.
C的左边等于C的右边,得a
n-1
=0.n=0,1,2….但这不正确.所以C也不对.
余下只有D.
以下可直接验算D正确.已证(**)式,所以对一切n,有
a
n+6
=a
n+5
-a
n+1
= a
n+4
-a
n+3
-a
n+4
=-a
n+3
,
从而
a
n+6
=-a
n+3
=-(-a
n
)= a
n
,n=0,1,2,….
所以D正确.[img][/img]
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考研数学二
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