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  3. 设，n=0，1，2，…．则下列关于an的关系式成立的是 ( )

设，n=0，1，2，…．则下列关于an的关系式成立的是 ( )

admin2018-07-23  25
问题 设，n=0，1，2，…．则下列关于an的关系式成立的是    (    )
选项 A、an+2=an+1+ an．
B、an+3=an．
C、an+4=an+2+ an．
D、an+6=an．
答案D
解析 由得f(0)=1，再由
f(x)(x2－x+1)=x+1，    (*)
两边对x求一阶导数，得
fˊ(x)(x2－x+1)+ f(x)(2x－1)=1．
将x=0代入，得
fˊ(0) －f (0)=1，  fˊ(0)=f (0)+1=2．
将(*)两边对x求n阶导数，n≥2，有
f(n)(x)(x2－x+1)+Cn1f(n－1)(x)(2x－1)+Cn2f(n－2)(x)·2=0，
将x=0代入，得
f(n)(0)－Cn1f(n－1)(0)+2 Cn2f(n－2)(0) =0，
又因为所以有

或写成
an+2=an+1－an，n=0，1，2，…．    (**)
现在验算A～D中哪一个正确．
显然，由递推公式(**)知， A的左边以an+2=an+1－an，仅当an=0时才有A的左边等于A的右边，故A不正确．
再验算B．B的左边
an+3=an+2－an+1= an+1－an－an+1=－an，
所以仅当an=0时， B的左边等于B的右边，故B不正确．
再验算C． C的左边
an－4=an+3－an+2= an+2－an+1－an+2=－an+1，
C的右边
an+2+ an= an+1－an－an=an+1．
C的左边等于C的右边，得an－1=0．n=0，1，2…．但这不正确．所以C也不对．
余下只有D．
以下可直接验算D正确．已证(**)式，所以对一切n，有
an+6=an+5－an+1= an+4－an+3－an+4=－an+3，
从而
an+6=－an+3=－(－an)= an，n=0，1，2，…．
所以D正确．[img][/img]
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考研数学二

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