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设，n=0，1，2，…．则下列关于an的关系式成立的是 ( )
设，n=0，1，2，…．则下列关于an的关系式成立的是 ( )
admin
2018-07-23
28
问题
设
，n=0，1，2，…．则下列关于a
n
的关系式成立的是 ( )
选项
A、a
n+2
=a
n+1
+ a
n
．
B、a
n+3
=a
n
．
C、a
n+4
=a
n+2
+ a
n
．
D、a
n+6
=a
n
．
答案
D
解析
由
得f(0)=1，再由
f(x)(x
2
－x+1)=x+1， (*)
两边对x求一阶导数，得
fˊ(x)(x
2
－x+1)+ f(x)(2x－1)=1．
将x=0代入，得
fˊ(0) －f (0)=1， fˊ(0)=f (0)+1=2．
将(*)两边对x求n阶导数，n≥2，有
f
(n)
(x)(x
2
－x+1)+C
n
1
f
(n－1)
(x)(2x－1)+C
n
2
f
(n－2)
(x)·2=0，
将x=0代入，得
f
(n)
(0)－C
n
1
f
(n－1)
(0)+2 C
n
2
f
(n－2)
(0) =0，
又因为
所以有
或写成
a
n+2
=a
n+1
－a
n
，n=0，1，2，…． (**)
现在验算A～D中哪一个正确．
显然，由递推公式(**)知， A的左边以a
n+2
=a
n+1
－a
n
，仅当a
n
=0时才有A的左边等于A的右边，故A不正确．
再验算B．B的左边
a
n+3
=a
n+2
－a
n+1
= a
n+1
－a
n
－a
n+1
=－a
n
，
所以仅当a
n
=0时， B的左边等于B的右边，故B不正确．
再验算C． C的左边
a
n－4
=a
n+3
－a
n+2
= a
n+2
－a
n+1
－a
n+2
=－a
n+1
，
C的右边
a
n+2
+ a
n
= a
n+1
－a
n
－a
n
=a
n+1
．
C的左边等于C的右边，得a
n－1
=0．n=0，1，2…．但这不正确．所以C也不对．
余下只有D．
以下可直接验算D正确．已证(**)式，所以对一切n，有
a
n+6
=a
n+5
－a
n+1
= a
n+4
－a
n+3
－a
n+4
=－a
n+3
，
从而
a
n+6
=－a
n+3
=－(－a
n
)= a
n
，n=0，1，2，…．
所以D正确．[img][/img]
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/lzj4777K
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考研数学二
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