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设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…). (1)证明存在,并求该极限; (2)计算
设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…). (1)证明存在,并求该极限; (2)计算
admin
2014-08-19
53
问题
设数列{x
n
}满足0<x
1
<π,x
n+1
=sinx
n
(n=1,2,…).
(1)证明
存在,并求该极限;
(2)计算
选项
答案
(1)因为0<x
1
<π,则0<x
2
=sinx
1
≤1<π. 可推得0<x
n+1
=sinx
n
≤1<π,n=1,2,…,则数列{x
n
}有界. 于是 [*](因为当x>0时,sinx<x),则有x
n+1
<x
n
,可见数列{x
n
}单调减少,故由单调减少有下界数列必有极限知,极限[*]存在. 设[*],在x
n+1
1=sinx
n
两边令n→∞,得ι=sinι,解得ι=0,即[*]. (2)因[*],由(1)知该极限为“1
∞
”型, 令t=x
n
,则n→∞,t→0,而[*] 又[*] 故[*]
解析
题设数列由递推公式给出,一般利用单调有界数列必有极限的准则来证明数
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xk34777K
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考研数学二
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