设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…). (1)证明存在,并求该极限; (2)计算

admin2014-08-19  53

问题 设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…).
(1)证明存在,并求该极限;
(2)计算

选项

答案(1)因为0<x1<π,则0<x2=sinx1≤1<π. 可推得0<xn+1=sinxn≤1<π,n=1,2,…,则数列{xn}有界. 于是 [*](因为当x>0时,sinx<x),则有xn+1<xn,可见数列{xn}单调减少,故由单调减少有下界数列必有极限知,极限[*]存在. 设[*],在xn+11=sinxn两边令n→∞,得ι=sinι,解得ι=0,即[*]. (2)因[*],由(1)知该极限为“1”型, 令t=xn,则n→∞,t→0,而[*] 又[*] 故[*]

解析 题设数列由递推公式给出,一般利用单调有界数列必有极限的准则来证明数
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