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  3. 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn＋1＝sinxn(n＝1，2，…)． (1)证明存在，并求该极限； (2)计算

设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn＋1＝sinxn(n＝1，2，…)． (1)证明存在，并求该极限； (2)计算

admin2014-08-19  119
问题 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn＋1＝sinxn(n＝1，2，…)．
(1)证明存在，并求该极限；
(2)计算
选项
答案(1)因为0＜x1＜π，则0＜x2＝sinx1≤1＜π． 可推得0＜xn＋1＝sinxn≤1＜π，n＝1，2，…，则数列{xn}有界． 于是 [*](因为当x＞0时，sinx＜x)，则有xn＋1＜xn，可见数列{xn}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限[*]存在． 设[*]，在xn＋11＝sinxn两边令n→∞，得ι＝sinι，解得ι＝0，即[*]． (2)因[*]，由(1)知该极限为“1∞”型， 令t＝xn，则n→∞，t→0，而[*] 又[*] 故[*]
解析 题设数列由递推公式给出，一般利用单调有界数列必有极限的准则来证明数
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考研数学二

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