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  3. 设n阶矩阵A满足(aW一A)(bE—A)=0且a≠b．证明：A可对角化．

设n阶矩阵A满足(aW一A)(bE—A)=0且a≠b．证明：A可对角化．

admin2019-01-05  57
问题 设n阶矩阵A满足(aW一A)(bE—A)=0且a≠b．证明：A可对角化．
选项
答案由(aE一A)(bE一A)=O，得｜aE—A｜．｜bE—A｜=0，则｜aE—A｜=0或者 同时r(aE—A)+r(bE一A)≥rE(aE—A)一(bE—A)]=rE(a一b)E]=n． 所以r(aE—A)+r(bE一A)=n． (1)若｜aE—A｜≠0，则r(aE—A)=n，所以r(bE—A)=0，故A=bE． (2)若｜bE一A｜≠0，则r(bE—A)=n，所以r(aE—A)=0，故A=aE． (3)若｜aE—A｜=0且｜bE一A｜=0，则a，b都是矩阵A的特征值． 方程组(aE一A)X=0的基础解系含有n一r(aE—A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n一r(aE—A)个； 方程组(bE—A)X=0的基础解系含有n一r(bE—A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n一r(bE—A)个． 因为n一r(aE—A)+n—r(bE—A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．
解析
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考研数学三

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