(18)设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x3+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数. (1)求f(x1,x2,x3)=0的解; (2)求f(x1,x2,x3)的规范形.

admin2018-08-01  66

问题 (18)设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x3+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数.
(1)求f(x1,x2,x3)=0的解;
(2)求f(x1,x2,x3)的规范形.

选项

答案(1)f(x1,x2,x3)=[*] 对上面这个齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换: [*] 可见当a-2≠0,即a≠2时,该方程组只有零解x=0,即方程f=0只有零解x=0; 当a=2时,由 [*] 得方程组的通解、即方程f(x1,x2,x3)=0的解为 x=[*],k为任意实数. (2)由(1)知当a≠2时,f是正定的,因此f的规范形是f=f12+f22+f32; 当a=2时,对f配方得 f=2(x1-[*]x2+[*]x3)2+[*](x2+x3)2, 可见f的秩为2,f的正惯性指数也是2,所以f的规范形是f=y12+y22

解析
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