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(18)设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x3+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数. (1)求f(x1,x2,x3)=0的解; (2)求f(x1,x2,x3)的规范形.
(18)设实二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x3+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2,其中a是参数. (1)求f(x1,x2,x3)=0的解; (2)求f(x1,x2,x3)的规范形.
admin
2018-08-01
78
问题
(18)设实二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
-x
3
+x
3
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
1
+ax
3
)
2
,其中a是参数.
(1)求f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解;
(2)求f(x
1
,x
2
,x
3
)的规范形.
选项
答案
(1)f(x
1
,x
2
,x
3
)=[*] 对上面这个齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换: [*] 可见当a-2≠0,即a≠2时,该方程组只有零解x=0,即方程f=0只有零解x=0; 当a=2时,由 [*] 得方程组的通解、即方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解为 x=[*],k为任意实数. (2)由(1)知当a≠2时,f是正定的,因此f的规范形是f=f
1
2
+f
2
2
+f
3
2
; 当a=2时,对f配方得 f=2(x
1
-[*]x
2
+[*]x
3
)
2
+[*](x
2
+x
3
)
2
, 可见f的秩为2,f的正惯性指数也是2,所以f的规范形是f=y
1
2
+y
2
2
.
解析
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0
考研数学二
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