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  3. 一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)．已知X和Y的联合分布函数为 问X与Y是否相互独立?

一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)．已知X和Y的联合分布函数为 问X与Y是否相互独立?

admin2019-05-08  33
问题 一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)．已知X和Y的联合分布函数为
         
问X与Y是否相互独立?   
选项
答案解一 设X，Y的分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则 [*] 故当x≥0，y≥0时，有 FX(x)FY(y)=(1－e－0.5x)(1－e－0.5y)=1－e－0.5x－e-0.5y+e－0.5(x+y)=F(x，y)． 而当x＞0或y＜0时，有 Fx(x)FY(y)=0=F(x，y)， 所以对任意x，y，均有F(x，y)=Fx(x)FY(y)，则X与Y独立． 解二 先求出(X，Y)的联合概率密度函数f(x，y)及边缘密度fX(x)，fY(y)．当x≥0，y≥0时，有 [*] 于是有 [*] 因而[*]同理，可求得[*] 易验证对x≥0，y≥0，均有 f(x，y)=fX(x)fY(y)． 对x<0或y<0，也有f(x，y)=fX(x)·fY(y)=0，故对任意x，y均有f(x，y)=fX(x)fY(y)，由命题3．3．5．1(1)知，X与Y相互独立． 注：命题3．3．5．1 (1)对任意二维随机变量(X，Y)，有X，Y相互独立[*]对任意x，y，有F(x，y)=FX(x)FY(y)；X，Y相互独立[*]对任意x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)．
解析
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考研数学三

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