2. 考研
  3. 设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且满足 ∫abf（t）dt≥∫axg（t）dt，x∈ [a，b），∫abf（t）dt =∫abg（t）dt。 证明∫abxf（x）dx≤∫abxg（x）dx。

设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且满足 ∫abf（t）dt≥∫axg（t）dt，x∈ [a，b），∫abf（t）dt =∫abg（t）dt。 证明∫abxf（x）dx≤∫abxg（x）dx。

admin2017-12-29  17
问题 设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且满足
∫abf（t）dt≥∫axg（t）dt，x∈ [a，b），∫abf（t）dt =∫abg（t）dt。
证明∫abxf（x）dx≤∫abxg（x）dx。
选项
答案令F（x）=f（x）—g（x），G（x）=∫axF（t）dt，由题设G（x）≥0，x ∈[a，b），且G（a）=G（b）=0，G’（x）=F（x）。 从而∫abxF（x）dx=∫abxdG（x）=xG（x）|ab一∫abGcx）dx=—∫abG（x）dx，由于G（x）≥0，x∈[a，b），故有一∫abG（x）dx≤0，即∫abxF（x）dx≤0。 因此 ∫abxf（x）dx≤∫abxg（x）dx。
解析
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考研数学三

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