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设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足 ∫abf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈ [a,b),∫abf(t)dt =∫abg(t)dt。 证明∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足 ∫abf(t)dt≥∫axg(t)dt,x∈ [a,b),∫abf(t)dt =∫abg(t)dt。 证明∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
admin
2017-12-29
42
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足
∫
a
b
f(t)dt≥∫
a
x
g(t)dt,x∈ [a,b),∫
a
b
f(t)dt =∫
a
b
g(t)dt。
证明∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx。
选项
答案
令F(x)=f(x)—g(x),G(x)=∫
a
x
F(t)dt,由题设G(x)≥0,x ∈[a,b),且G(a)=G(b)=0,G’(x)=F(x)。 从而∫
a
b
xF(x)dx=∫
a
b
xdG(x)=xG(x)|
a
b
一∫
a
b
Gcx)dx=—∫
a
b
G(x)dx,由于G(x)≥0,x∈[a,b),故有一∫
a
b
G(x)dx≤0,即∫
a
b
xF(x)dx≤0。 因此 ∫
a
b
xf(x)dx≤∫
a
b
xg(x)dx。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mGX4777K
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考研数学三
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