设A是m×n矩阵，m＜n,r(A)=m,以下选项中错误的是( )。

admin2022-03-14 43

问题设A是m×n矩阵，m＜n,r(A)=m,以下选项中错误的是( )。

选项 A、存在n阶可逆矩阵Q，使得AQ=(E_m,O)
B、存在n阶可逆矩阵P，使得PA=(E_m,O)
C、齐次线性方程组Ax=0有零解
D、非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解

答案B

解析 ①因为A是m×n矩阵，m＜n，r(A)=m,所以存在m阶可逆矩阵B和n阶可逆矩阵C，使得BAC=(E_m,O),于是
AC=B^-1(E_m,O)=(B^-1E_m，O)=(E_mB^-1，O)
=(E_m,O)

记D=

,则D为n阶可逆矩阵，且AC=(E_m,O)D,由此可得，ACD^-1=(E_m,O).
②齐次线性方程组Ax=0总是有零解。
③由条件可得r(A)=r(A,b)=m＜n，故Ax=b有无穷多解。
④下面的例子表明不一定存在m阶可逆矩阵P,使得PA=(E_m,O).
取m=2,n=4，A=

,则A是2×4矩阵，2＜4，且r(A)=2,但对于任意的2阶可逆矩阵P,有PA=P(O,E₂)=(O,P)≠(E₂，O）。

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考研数学三

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