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设A是m×n矩阵,m<n,r(A)=m,以下选项中错误的是( )。
设A是m×n矩阵,m<n,r(A)=m,以下选项中错误的是( )。
admin
2022-03-14
54
问题
设A是m×n矩阵,m<n,r(A)=m,以下选项中错误的是( )。
选项
A、存在n阶可逆矩阵Q,使得AQ=(E
m
,O)
B、存在n阶可逆矩阵P,使得PA=(E
m
,O)
C、齐次线性方程组Ax=0有零解
D、非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解
答案
B
解析
①因为A是m×n矩阵,m<n,r(A)=m,所以存在m阶可逆矩阵B和n阶可逆矩阵C,使得BAC=(E
m
,O),于是
AC=B
-1
(E
m
,O)=(B
-1
E
m
,O)=(E
m
B
-1
,O)
=(E
m
,O)
记D=
,则D为n阶可逆矩阵,且AC=(E
m
,O)D,由此可得,ACD
-1
=(E
m
,O).
②齐次线性方程组Ax=0总是有零解。
③由条件可得r(A)=r(A,b)=m<n,故Ax=b有无穷多解。
④下面的例子表明不一定存在m阶可逆矩阵P,使得PA=(E
m
,O).
取m=2,n=4,A=
,则A是2×4矩阵,2<4,且r(A)=2,但对于任意的2阶可逆矩阵P,有PA=P(O,E
2
)=(O,P)≠(E
2
,O)。
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考研数学三
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