证明下列命题成立: (1)若A是正交阵,则AT,A-1,A*均是正交阵. (2)矩阵A是正交阵的充要条件是|A|=±1,且|A|=1时,aij=Aij;|A|=一1时,aij=一Aij。

admin2020-09-25  38

问题 证明下列命题成立:
  (1)若A是正交阵,则AT,A-1,A*均是正交阵.
  (2)矩阵A是正交阵的充要条件是|A|=±1,且|A|=1时,aij=Aij;|A|=一1时,aij=一Aij

选项

答案(1)因为A正交,所以AT=A-1,且AT(AT)T=(ATA)T=E,故AT,A-1都是正交阵. 因为A正交,所以|A|=±1,A*=|A|.A-1,(A*)T=|A|.(A-1)T, 所以A*(A*)T=|A|2.A-1(A-1)T=E.所以A*是正交矩阵. (2)必要性[*]:A正交,AAT=E,因此|A|2=1,即|A|=±1. 当|A|=1时,AA*=E即A*=A-1=AT.所以有Aij=aij. 当|A|=一1时,AA*=一E,即A*=一A-1=一AT,所以有Aij=一aij. 充分性[*]:|A|=±1,AA*=|A|E, 当|A|=1时,aij=Aij,有A*=AT,故AAT=AA*=|A|E=E. 当|A|=一1时,aij=-Aij,有A*=一AT,AA*=一E,即-AAT=一E,故AAT=E,因 此A是正交阵.

解析
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