设α，β为四维非零的正交向量，且A＝αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( )．

admin2019-06-06 78

问题设α，β为四维非零的正交向量，且A＝αβ^T，则A的线性无关的特征向量个数为( )．

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案C

解析令AX＝λX，则A²X＝λ²X，因为α，β正交，所以α^Tβ＝β^Tα＝0，A²＝αβ^T·αβ^T＝0，于是λ²X＝0，故λ₁＝λ₂＝λ₃＝λ₄＝0，因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)＝r(αβ^T)≤r(α)＝1，所以r(A)＝1．因为4－r(0E－A)＝4－r(A)＝3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选(C)．

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