[2005年] 微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=一1／9的特解为________．

admin2019-05-10 47

问题 [2005年] 微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=一1／9的特解为________．

选项

答案所给方程可化为一阶线性微分方程，利用公式易求其通解，再由初始条件即可求得特解，也可用凑导数法求之．解一原方程可化为一阶线性微分方程y′+(2／x)y=lnx，其通解为 y=[*]．将x=1，y=一1／9代入得C=0，则y=(x／3)(lnx一1／3)．解二用凑导数法求之．为此，在原方程两边乘以x得到 x²y′+2xy=x²lnx，即 (x²y)′=x²lnx．两边积分得到 x²y=∫x²lnxdx=[*]x³lnx一[*]x³+C，代入初始条件y(1)=一1／9可得C=0，故所求的特解为 y=(xlnx)／3一x／9=(x／3)(lnx一1／3)．

解析

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