2. 考研
  3. 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为( )．

设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为( )．

admin2020-09-25  69
问题 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为(    )．
选项 A、向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表示．
B、向量β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表示．
C、向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价．
D、矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价．
答案D
解析 A：若向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表示，则m=R(α1，α2，…，αm)≤R(β1，β2，…，βm)≤m，从而可得R(β1，β2，…，βm)=m，即β1，β2，…，βm线性无关，但反之不一定成立，因为两个向量组秩相等不一定等价．
  B：β1，β2，…，βm线性无关并不能推出β1，β2，…，βm可由α1，α2，…，αm线性表示这一结果．
  C：两向量组向量个数相同且都线性无关并不能推出两向量组等价．
  D：若向量组β1，β2，…，βm线性无关，则R(B)=m，从而可得R(A)=R(B)，而A，B为同型矩阵，所以A与B等价．反之，若A与B等价，则R(A)=R(B)，又由于α1，α2，…，αm线性无关，从而可得R(A)=m，所以R(B)=m，所以β1，β2，…，βm线性无关．
  故选D.
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考研数学三

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