设n维列向量组α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,则n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关的充分必要条件为( ).

admin2020-09-25  41

问题 设n维列向量组α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,则n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关的充分必要条件为(    ).

选项 A、向量组α1,α2,…,αm可由向量组β1,β2,…,βm线性表示.
B、向量β1,β2,…,βm可由向量组α1,α2,…,αm线性表示.
C、向量组α1,α2,…,αm与向量组β1,β2,…,βm等价.
D、矩阵A=(α1,α2,…,αm)与矩阵B=(β1,β2,…,βm)等价.

答案D

解析 A:若向量组α1,α2,…,αm可由向量组β1,β2,…,βm线性表示,则m=R(α1,α2,…,αm)≤R(β1,β2,…,βm)≤m,从而可得R(β1,β2,…,βm)=m,即β1,β2,…,βm线性无关,但反之不一定成立,因为两个向量组秩相等不一定等价.
  B:β1,β2,…,βm线性无关并不能推出β1,β2,…,βm可由α1,α2,…,αm线性表示这一结果.
  C:两向量组向量个数相同且都线性无关并不能推出两向量组等价.
  D:若向量组β1,β2,…,βm线性无关,则R(B)=m,从而可得R(A)=R(B),而A,B为同型矩阵,所以A与B等价.反之,若A与B等价,则R(A)=R(B),又由于α1,α2,…,αm线性无关,从而可得R(A)=m,所以R(B)=m,所以β1,β2,…,βm线性无关.
  故选D.
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