2. 考研
  3. 设数列{un}，{vn}满足m＜＜M，其中m，M是大于零的常数，vn≠0(n=1，2…)．考虑以下命题： ①若级数un发散，则vn必发散； ②若级数vn收敛，则un必收敛； ③级数un与vn同时收敛或发散； ④当级数vn=1

设数列{un}，{vn}满足m＜＜M，其中m，M是大于零的常数，vn≠0(n=1，2…)．考虑以下命题： ①若级数un发散，则vn必发散； ②若级数vn收敛，则un必收敛； ③级数un与vn同时收敛或发散； ④当级数vn=1

admin2016-01-23  30
问题 设数列{un}，{vn}满足m＜＜M，其中m，M是大于零的常数，vn≠0(n=1，2…)．考虑以下命题：
    ①若级数un发散，则vn必发散；
    ②若级数vn收敛，则un必收敛；
    ③级数un与vn同时收敛或发散；
    ④当级数vn=1时，级数un必收敛，且其和必介于m与M之间，其中正确的个数是
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 本题考查抽象型数项级数的收敛性问题，可由题设条件直接分析推导，也可举反例排除，此处用前者．
    解：由题设条件m＜＜M，m>0，可知un与vn同号，不妨设un＞0，vn＞0，于是有
    mun＜un，un＜Mvn
    根据正项级数比较判别法可知，若级数发散，则级数必发散，从而级数发散；若级数收敛，则级数必收敛，从而级数也收敛．同样，若级数收敛，则收敛，从而收敛；若级数发散，则发散，从而级数发散，可见①，②，③正确．
    当级数=1时，由条件m＜＜M得mvn＜un＜Mvn(不妨设un，vn＞0)，进而得
      
    由于级数收敛时，必收敛，故④也正确．
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考研数学一

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