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设A=(α1,α2,α3,α4)是四阶矩阵,A*为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的一个基础解系,则A*x=0的基础解系可以是( )
设A=(α1,α2,α3,α4)是四阶矩阵,A*为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的一个基础解系,则A*x=0的基础解系可以是( )
admin
2021-01-19
63
问题
设A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)是四阶矩阵,A
*
为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)
T
是方程组Ax=0的一个基础解系,则A
*
x=0的基础解系可以是( )
选项
A、α
1
,α
3
。
B、α
1
,α
2
。
C、α
1
,α
2
,α
3
。
D、α
2
,α
3
,α
4
。
答案
D
解析
因为齐次线性方程组Ax=0的基础解系只包含一个向量(1,0,1,0)
T
,所以矩阵A的秩r(A)=4—1=3,A的伴随矩阵的秩r(A
*
)是由r(A)确定的,即r(A
*
)=1。
r(A
*
)=1
n一r(A
*
)=4—1=3。
从而方程组A
*
x=0的基础解系包含三个线性无关的解向量,因此,选项A,B是错误的。
又因为A
*
A=|A|E和|A|=0,因此矩阵A的列向量α
1
,α
2
,α
3
,α
4
都是方程组A
*
x=0的解,由前面的分析可知r(A)=3,故向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的秩也是3,则其中三个线性无关的向量即为A
*
x=0的一个基础解系。
最后,因为(1,0,1,0)
T
是Ax=0的解,因此
=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=
=0,
即α
1
+α
3
=0,则α
1
=一α
3
,因此可知α
1
,α
2
,α
4
(或者α
2
,α
3
,α
4
)线性无关,是A
*
x=0的一个基础解析,因此答案D是正确的。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mS84777K
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考研数学二
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