有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。求曲线x=φ(

admin2019-07-22 83

问题有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m³／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm²／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。
求曲线x=φ(y)的方程。

选项

答案液面的高度为y时，液体的体积为 V(t)=π∫₀^yφ²(u)du, 由题设，以3m³／min的速率向容器内注入液体，得 [*] 所以 π∫₀^yφ²(u)du=3t=3φ²(y)一12，上式两边对y求导，得 πφ²(y)=6φ(y)φ’(y)，即有 [*] 解此微分方程，得[*]，其中C为任意常数。由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为 [*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

[*]

已知四阶方阵A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2,α3,α4均为四维列向量，冥中α1,α2线性无关，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为()

设二阶常系数齐次线性微分方程以y1＝e2χ，y2＝2e－χ－3e2χ为特解，求该微分方程．

设z=f(xy)，其中函数f可微，则=()

证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．

设y(x)为微分方程y’’-4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=_________．

设α是n维单位列向量，A=E-ααT．证明：r(A)＜n.

设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导数的图形如右图，则f(x)有()．

某生猪屠宰场在宰后检疫时发现肩胛肌等横纹肌内有粟粒至米粒大小，半透明，大小(6～10)mm×5mm，剥离的包囊及肌肉内的包囊，见下图。该寄生虫的终末宿主是

下列关于牙髓腔在X线片上的显示，说法错误的是

地榆的功效是()小蓟的功效是()

依据FIDIC《施工合同条件》，有关指定分包商的特点表述正确的是(　　)。

课外活动的主体是()。

LKP框架结构的DSS包含()等几部分，其中最后一部分是DSS求解问题的核心。

LaineCaspi,CEOofParentsofInvention,beginshermorningat6:30a.m.,whenshereadsE-mail.Thenshegetsher7-year-olds

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[*]

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设二阶常系数齐次线性微分方程以y1＝e2χ，y2＝2e－χ－3e2χ为特解，求该微分方程．

设z=f(xy)，其中函数f可微，则=()

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设y(x)为微分方程y’’-4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=_________．

设α是n维单位列向量，A=E-ααT．证明：r(A)＜n.

设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导数的图形如右图，则f(x)有()．

某生猪屠宰场在宰后检疫时发现肩胛肌等横纹肌内有粟粒至米粒大小，半透明，大小(6～10)mm×5mm，剥离的包囊及肌肉内的包囊，见下图。该寄生虫的终末宿主是

下列关于牙髓腔在X线片上的显示，说法错误的是

地榆的功效是()小蓟的功效是()

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依据FIDIC《施工合同条件》，有关指定分包商的特点表述正确的是(　　)。