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  3. 求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件下存在最大值和最小值，且它们是方程k2－(Aa2+Cb2)k+(AC－B2)a2b2=0的根．

求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件下存在最大值和最小值，且它们是方程k2－(Aa2+Cb2)k+(AC－B2)a2b2=0的根．

admin2018-09-25  15
问题 求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件下存在最大值和最小值，且它们是方程k2－(Aa2+Cb2)k+(AC－B2)a2b2=0的根．
选项
答案因为f(x，y)在全平面连续， [*] 为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必存在最大值和最小值． 设(x1，y1)，(x2，y2)分别为最大值点和最小值点，令 [*] 则(x1，y1)，(x2，y2)应满足方程 [*] 记相应乘子为λ1，λ2，则(x1，y1，λ1)满足 [*] 解得λ1=Ax12+2Bx1y1+Cy12．同理λ2=Ax22+2Bx2y2+Cy22，即A，，A：是f(x，y)在椭圆 [*] 上的最大值和最小值． 又方程①和②有非零解，系数行列式为0，即 [*] 化简得λ2－(Aa2+Cb2)λ+(AC－B2)a2b2=0，所以λ1，λ2是上述方程(即题目所给方程)的根．
解析
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考研数学一

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