2. 考研
  3. 设函数f(x)在(0，+∞)内连续，，且对所有x，t∈(0，+∞)，满足条件∫1stf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du，求f(x).

设函数f(x)在(0，+∞)内连续，，且对所有x，t∈(0，+∞)，满足条件∫1stf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du，求f(x).

admin2022-04-08  65
问题 设函数f(x)在(0，+∞)内连续，，且对所有x，t∈(0，+∞)，满足条件∫1stf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du，求f(x).
选项
答案因 ∫1xtf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du，在上式两端关于x求导得tf(xt)=tf(x)+∫1tf(u)du．令x=1，得 tf(t)=tf(1)+∫1tf(u)du，又[*]． 将其代入上式，有[*]在等式两端再对t求导，得[*] 又t∈(0，+∞)，即得[*]将[*] 代入上式，得[*]，则[*] 于是[*]
解析
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考研数学二

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