设函数f(x)在(0,+∞)内连续,,且对所有x,t∈(0,+∞),满足条件∫1stf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du,求f(x).

admin2022-04-08  45

问题 设函数f(x)在(0,+∞)内连续,,且对所有x,t∈(0,+∞),满足条件∫1stf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du,求f(x).

选项

答案因 ∫1xtf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du,在上式两端关于x求导得tf(xt)=tf(x)+∫1tf(u)du.令x=1,得 tf(t)=tf(1)+∫1tf(u)du,又[*]. 将其代入上式,有[*]在等式两端再对t求导,得[*] 又t∈(0,+∞),即得[*]将[*] 代入上式,得[*],则[*] 于是[*]

解析
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