设函数f(x)在(0，+∞)内连续，，且对所有x，t∈(0，+∞)，满足条件∫1stf(u)du=t∫1xf(u)du+x∫1tf(u)du，求f(x).

admin2022-04-08 54

问题设函数f(x)在(0，+∞)内连续，

，且对所有x，t∈(0，+∞)，满足条件∫₁^stf(u)du=t∫₁^xf(u)du+x∫₁^tf(u)du，求f(x).

选项

答案因 ∫₁^xtf(u)du=t∫₁^xf(u)du+x∫₁^tf(u)du，在上式两端关于x求导得tf(xt)=tf(x)+∫₁^tf(u)du．令x=1，得 tf(t)=tf(1)+∫₁^tf(u)du，又[*]．将其代入上式，有[*]在等式两端再对t求导，得[*] 又t∈(0，+∞)，即得[*]将[*] 代入上式，得[*]，则[*] 于是[*]

解析

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