设A是m×n矩阵，B=λE+ATA，证明当λ＞0时，B是正定矩阵．

admin2016-10-26 57

问题设A是m×n矩阵，B=λE+A^TA，证明当λ＞0时，B是正定矩阵．

选项

答案(定义法) 因为B^T=(λE+A^TA)^T=λE+A^TA=B，故B是n阶实对称矩阵，[*]n维实向量x≠0，有x^TBx=λx^Tx+x^TA^TAx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)=λ‖x‖²+‖Ax‖²．由于x≠0，λ＞0，恒有λ‖x‖²＞0，而‖Ax‖²≥0，因此x^TBx＞0([*]x≠0)，即B正定．

解析

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