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  3. 设A是m×n矩阵，B=λE+ATA，证明当λ＞0时，B是正定矩阵．

设A是m×n矩阵，B=λE+ATA，证明当λ＞0时，B是正定矩阵．

admin2016-10-26  102
问题 设A是m×n矩阵，B=λE+ATA，证明当λ＞0时，B是正定矩阵．
选项
答案(定义法) 因为BT=(λE+ATA)T=λE+ATA=B，故B是n阶实对称矩阵，[*]n维实向量x≠0，有xTBx=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax)=λ‖x‖2+‖Ax‖2． 由于x≠0，λ＞0，恒有λ‖x‖2＞0，而‖Ax‖2≥0，因此xTBx＞0([*]x≠0)，即B正定．
解析
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考研数学一

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