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设A是m×n矩阵,B=λE+ATA,证明当λ>0时,B是正定矩阵.
设A是m×n矩阵,B=λE+ATA,证明当λ>0时,B是正定矩阵.
admin
2016-10-26
60
问题
设A是m×n矩阵,B=λE+A
T
A,证明当λ>0时,B是正定矩阵.
选项
答案
(定义法) 因为B
T
=(λE+A
T
A)
T
=λE+A
T
A=B,故B是n阶实对称矩阵,[*]n维实向量x≠0,有x
T
Bx=λx
T
x+x
T
A
T
Ax=λx
T
x+(Ax)
T
(Ax)=λ‖x‖
2
+‖Ax‖
2
. 由于x≠0,λ>0,恒有λ‖x‖
2
>0,而‖Ax‖
2
≥0,因此x
T
Bx>0([*]x≠0),即B正定.
解析
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0
考研数学一
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