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设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明: (1)至少存在一点ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1—ξ; (2)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明: (1)至少存在一点ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1—ξ; (2)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
admin
2016-01-11
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问题
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明:
(1)至少存在一点ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1—ξ;
(2)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
选项
答案
(1)令F(x)=f(x)+x一1,x∈[0,1],则由已知F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=一1,F(1)=1. 根据介值定理,至少存在一点ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0,即f(ξ)=1一ξ (2)根据已知条件,对f(x)在[0,ξ],[ξ,1]上分别用拉格朗日中值定理,有 [*] 将(1)的结论代入,得 [*]
解析
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考研数学二
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