设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明： (1)至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1—ξ； (2)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．

admin2016-01-11 67

问题设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：
(1)至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1—ξ；
(2)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．

选项

答案 (1)令F(x)=f(x)+x一1，x∈[0，1]，则由已知F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=一1，F(1)=1．根据介值定理，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1一ξ (2)根据已知条件，对f(x)在[0，ξ]，[ξ，1]上分别用拉格朗日中值定理，有 [*] 将(1)的结论代入，得 [*]

解析

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考研数学二

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