2. 考研
  3. 设二维随机变量(X1，X2)～N(0，0，1，1；0)．记X=max{X1，X2}，Y=min{X1，X2}，Z=X-Y． 求二维随机变量(X，Y)的分布函数．

设二维随机变量(X1，X2)～N(0，0，1，1；0)．记X=max{X1，X2}，Y=min{X1，X2}，Z=X-Y． 求二维随机变量(X，Y)的分布函数．

admin2022-04-27  23
问题 设二维随机变量(X1，X2)～N(0，0，1，1；0)．记X=max{X1，X2}，Y=min{X1，X2}，Z=X-Y．
求二维随机变量(X，Y)的分布函数．
选项
答案F(x，y)=P{X≤x，Y≤y} =P{max{X1，X2}≤x，min{X1，X2}≤y}[*]P(AB) 其中 A={max{X1，X2}≤x}={X1≤x，X2≤x}， B={min{X1，X2}≤y}={X1≤y}∪{X2≤y}， B={min{X1，X2}＞y}={X1＞y，X2＞y}． 由A=AB∪[*]，可知P(AB)=P(A)-P([*])，故 F(x，y)=P(AB)=P(A)-P([*]) =P{X1≤x，X2≤x)-P{X1≤x，X2≤x，X1＞y，X2＞y} =P{X1≤x}P{X2≤x}-P(X1≤x，X1＞y}P{X2≤x，X2＞y} =Φ2(x)P{X1≤x，X1＞y}P{X2≤x，X2＞y}． 当x≤y时，F(x，y)=Φ2(x)． 当x＞y时， F(x，y)=Φ2(x)-P{y＜X1≤x}P{y＜X2≤x} =Φ2(x)-[Φ(x)-Φ(y)]2=2Φ(x)Φ(y)-Φ2(y)． 综上所述，(X，Y)的分布函数为 F(x，y)=[*]
解析
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考研数学三

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