设二维随机变量(X1,X2)~N(0,0,1,1;0).记X=max{X1,X2},Y=min{X1,X2},Z=X-Y. 求二维随机变量(X,Y)的分布函数.

admin2022-04-27  31

问题 设二维随机变量(X1,X2)~N(0,0,1,1;0).记X=max{X1,X2},Y=min{X1,X2},Z=X-Y.
求二维随机变量(X,Y)的分布函数.

选项

答案F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} =P{max{X1,X2}≤x,min{X1,X2}≤y}[*]P(AB) 其中 A={max{X1,X2}≤x}={X1≤x,X2≤x}, B={min{X1,X2}≤y}={X1≤y}∪{X2≤y}, B={min{X1,X2}>y}={X1>y,X2>y}. 由A=AB∪[*],可知P(AB)=P(A)-P([*]),故 F(x,y)=P(AB)=P(A)-P([*]) =P{X1≤x,X2≤x)-P{X1≤x,X2≤x,X1>y,X2>y} =P{X1≤x}P{X2≤x}-P(X1≤x,X1>y}P{X2≤x,X2>y} =Φ2(x)P{X1≤x,X1>y}P{X2≤x,X2>y}. 当x≤y时,F(x,y)=Φ2(x). 当x>y时, F(x,y)=Φ2(x)-P{y<X1≤x}P{y<X2≤x} =Φ2(x)-[Φ(x)-Φ(y)]2=2Φ(x)Φ(y)-Φ2(y). 综上所述,(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=[*]

解析
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