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[2002年] 设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则对于任意常数k,必有( ).
[2002年] 设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则对于任意常数k,必有( ).
admin
2021-01-19
56
问题
[2002年] 设向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,向量β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,而向量β
2
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则对于任意常数k,必有( ).
选项
A、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关
B、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性相关
C、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性无关
D、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性相关
答案
A
解析
注意到α
1
,α
2
,α
3
线性无关,β
2
又不能由此向量组线性表示.可利用命题2.3.1.2(1),(3)及命题2.3.2.2等多种方法判别.
解一 因β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,由命题2.3.1.2(1)知,秩(α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
)=秩(α
1
,α
2
,α
3
,β
2
).再由命题2.3.1.2(3)知,秩(α
1
,α
2
,α
3
,β
2
)=4.因而α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关.仅(A)入选.
解二 由题设有β
1
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
.于是矩阵的初等变换不改变行(列)向量组的秩,从而也不改变其行(列)向量组的线性相关性.通过初等列变换,易得到
[α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
]=[α
1
,α
2
,α
3
,kk
1
α
1
+kk
2
α
2
+kk
3
α
3
+β
2
]
[α
1
,α
2
,α
3
3,β
2
],
故秩(α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
3
)=秩(α
1
,α
2
,α
3
,β
2
)=4,所以α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关.
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考研数学二
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