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[2002年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( )．
[2002年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( )．
admin
2021-01-19
104
问题
[2002年] 设向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关，向量β
1
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，而向量β
2
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，则对于任意常数k，必有( )．
选项
A、α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关
B、α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性相关
C、α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性无关
D、α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+kβ
2
线性相关
答案
A
解析
注意到α
1
，α
2
，α
3
线性无关，β
2
又不能由此向量组线性表示．可利用命题2．3．1．2(1)，(3)及命题2．3．2．2等多种方法判别．
解一 因β
1
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，由命题2．3．1．2(1)知，秩(α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
)=秩(α
1
，α
2
，α
3
，β
2
)．再由命题2．3．1．2(3)知，秩(α
1
，α
2
，α
3
，β
2
)=4．因而α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关．仅(A)入选．
解二 由题设有β
1
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
．于是矩阵的初等变换不改变行(列)向量组的秩，从而也不改变其行(列)向量组的线性相关性．通过初等列变换，易得到
[α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
]=[α
1
，α
2
，α
3
，kk
1
α
1
+kk
2
α
2
+kk
3
α
3
+β
2
]
[α
1
，α
2
，α
3
3，β
2
]，
故秩(α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
3
)=秩(α
1
，α
2
，α
3
，β
2
)=4，所以α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关．
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