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  3. [2002年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( )．

[2002年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( )．

admin2021-01-19  74
问题 [2002年]  设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有(    )．
选项 A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关
B、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关
C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关  
D、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关
答案A
解析  注意到α1，α2，α3线性无关，β2又不能由此向量组线性表示．可利用命题2．3．1．2(1)，(3)及命题2．3．2．2等多种方法判别．
解一  因β1可由α1，α2，α3线性表示，由命题2．3．1．2(1)知，秩(α1，α2，α3，kβ1+β2)=秩(α1，α2，α3，β2)．再由命题2．3．1．2(3)知，秩(α1，α2，α3，β2)=4．因而α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．仅(A)入选．
解二  由题设有β1=k1α1+k2α2+k3α3．于是矩阵的初等变换不改变行(列)向量组的秩，从而也不改变其行(列)向量组的线性相关性．通过初等列变换，易得到
[α1，α2，α3，kβ1+β2]=[α1，α2，α3，kk1α1+kk2α2+kk3α3+β2][α1，α2，α33，β2]，
故秩(α1，α2，α3，kβ1+β3)=秩(α1，α2，α3，β2)=4，所以α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．
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考研数学二

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