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  3. 设f(x)在(一∞，a)内可导，=α＞0，求证：f(x)在(一∞，a)内至少有一个零点．

设f(x)在(一∞，a)内可导，=α＞0，求证：f(x)在(一∞，a)内至少有一个零点．

admin2018-11-21  49
问题 设f(x)在(一∞，a)内可导，=α＞0，求证：f(x)在(一∞，a)内至少有一个零点．
选项
答案由极限的不等式性质，[*]δ＞0，当x∈[a一δ，a)时[*]＞0，即f(x)＜0，也就有f(a一δ)＜0．[*]x0＜a一δ，当x≤x0时f’(x)≤[*]＜0．于是由微分中值定理知，当x＜x0，[*]ξ∈(x，x0) 使得 f(x)=f(x0)+f’(ξ)(x一x0)≥f(x0)+[*](x一x0)， 由此可得[*]x1＜a一δ使得f(x1)＞0． 在[x1，a一δ]上应用连续函数零点存在性定理，f(x)在(x1，a一δ)上至少存在一个零点．
解析 只需由所给条件证明：x1与x2，使得f(x1)＞0，f(x2)＜0即可．
    由极限的不等式性质及＞0确定x＜a，x靠近a时f(x)的符号，由微分中值定理(联系函数和它的导数)及f’(x)=β＜0确定x＜0，｜x｜充分大时f(x)的符号．
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考研数学一

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