2. 考研
  3. (I)设f(x)在(0，+∞)可导，f’(x)>0(x∈(0，+∞))，求证f(x)在(0，+∞)单调上升． (Ⅱ)求证：在(0，+∞)单调上升，其中n为正数． (Ⅲ)设数列，求xn．[img][/img]

(I)设f(x)在(0，+∞)可导，f’(x)>0(x∈(0，+∞))，求证f(x)在(0，+∞)单调上升． (Ⅱ)求证：在(0，+∞)单调上升，其中n为正数． (Ⅲ)设数列，求xn．[img][/img]

admin2019-01-25  29
问题 (I)设f(x)在(0，+∞)可导，f’(x)>0(x∈(0，+∞))，求证f(x)在(0，+∞)单调上升．
(Ⅱ)求证：在(0，+∞)单调上升，其中n为正数．
(Ⅲ)设数列，求xn．[img][/img]
选项
答案(I)对[*] 0＜x1＜x2＜+∞，在[x1，x2]上可用拉格朗日中值定理得，[*]ξ∈(x1，x2)∈(0，+∞)使得 f(x2)一f(x1)=f’(ξ)(x2一x1)＞0 => f(x2)＞f(x1) => f(x)在(0，+∞)↑． (Ⅱ)令g(x)=lnf(x)=-[*] ln(nx+1)(x>0)，考察 [*] => g(x)在(0，+∞)↑=>f(x)=eg(x)在(0，+∞)↑． (Ⅲ)用(Ⅱ)的结论对xn进行适当放大与缩小 [*] 即[*] 由[*] 因此 [*]xn=1．
解析
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考研数学一

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