设函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)>0,且求证：f(x)在(0，+∞)上有界．

admin2014-02-06 36

问题设函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)>0,且

求证：f(x)在(0，+∞)上有界．

选项

答案证法1。因f(x)在(0，+∞)连续，又[*]，所以f(x)在(0，+∞)上有界．证法2。当x∈(0，+∞)时显然有[*]即f(x)在(0，+∞)上有下界．为证明f(x)在(0，+∞)上也有上界可利用熟知的不等式：当[*]时有[*]从而当[*]时[*]又当[*]时直接可得[*]故当x∈(0，+∞)时f(x)<1成立．综合得当x∈(0，+∞)时0≤f(x)<1成立．

解析

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