设位于第一卦限的曲线y=f(χ)上任一点P(χ,y)的切线在χ轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数,且曲线经过点(1,0),求该曲线.

admin2018-05-17  45

问题 设位于第一卦限的曲线y=f(χ)上任一点P(χ,y)的切线在χ轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数,且曲线经过点(1,0),求该曲线.

选项

答案切线为Y-y=y′(X-χ),令Y=0得X=χ-[*]; 法线为Y-y=-[*](X-χ),令X=0得Y=y+[*], 由题意得χ-[*],解得[*] 令u=[*],代入得u+[*],变量分离得[*],即积分得 [*]ln(u2+1)+arctanu=-lnχ+C, 初始条件代入得C=0,所求曲线为 [*]=-lnχ.

解析
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